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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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*  유리수체 위에 정의된 타원 곡선의 Hasse-Weil L-함수와 weight 2인 모듈라 형식의 관계<br>
  
 
 
 
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">예</h5>
 
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<math>E: y^2=x^3-4x^2+16</math>
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*  타원곡선<br><math>E: y^2=x^3-4x^2+16</math><br> conductor = 11<br>
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*  유리수체 위의 해의 개수<br><math>E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty})\}</math><br><math>M_p=\#E(\mathbb{F}_p)</math> :<br><math>a_p=p+1-M_p</math><br>
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<math>E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty})\}</math>
 
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<math>M_p=\#E(\mathbb{F}_p)</math> :
 
  
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<math>a_p=p+1-M_p</math>
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모듈라 형식
  
 
<math>f(\tau)={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n</math>
 
<math>f(\tau)={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n</math>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>
  
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(*table of primes*)<br> Pr := Table[Prime[n], {n, 1, 20}]<br> (*elliptic curve*)<br> g[x_] := x^3 - 4 x^2 + 16<br> (*factorization of the discriminant & bad primes*)<br> FactorInteger[Discriminant[g[x], x]]<br> (*number of solution y^2=g[x] modulo p, Hasse-Weil esimate*)<br> M[p_] := \!\(<br> \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 0\), \(p - 1\)]\((1 +<br>     JacobiSymbol[Mod[g[i], p], p])\)\)<br> (*error term of Hasse-Weil esimates*)<br> A[p_] := p - M[p]<br> (*modular form*)<br> f[q_] := Series[q*\!\(<br> \*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(n = 1\), \(\[Infinity]\)]\((<br> \*SuperscriptBox[\((1 - q^n)\), \(2\)]*<br> \*SuperscriptBox[\((1 - q^\((11  n)\))\), \(2\)])\)\), {q, 0, 1000}]<br> (*the coefficients of modular form f[q]*)<br> n[p_] := SeriesCoefficient[f[q], p]<br> Table[{p, A[p], n[p]}, {p, Pr}] // TableForm
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* [http://www.ams.org/proc/1997-125-11/S0002-9939-97-03928-2/S0002-9939-97-03928-2.pdf Eta-quotients and elliptic curves]<br>
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** Y Martin, K Ono - Proceedings of the American Mathematical Society, 1997
  
 
* [http://www.jstor.org/stable/2324924 Number Theory as Gadfly]<br>
 
* [http://www.jstor.org/stable/2324924 Number Theory as Gadfly]<br>

2009년 12월 12일 (토) 16:19 판

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개요
  • 유리수체 위에 정의된 타원 곡선의 Hasse-Weil L-함수와 weight 2인 모듈라 형식의 관계

 

 

 

예
  • 타원곡선
    \(E: y^2=x^3-4x^2+16\)
    conductor = 11
  • 유리수체 위의 해의 개수
    \(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty})\}\)
    \(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\) :
    \(a_p=p+1-M_p\)

모듈라 형식

\(f(\tau)={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n\)

  • 다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄
    2    -1    -2
    3    -1    -1
    5    1    1
    7    -2    -2
    11    1    1
    13    4    4
    17    -2    -2
    19    0    0
    23    -1    -1
    29    0    0
    31    7    7
    37    3    3
    41    -8    -8
    43    -6    -6
    47    8    8
    53    -6    -6
    59    5    5
    61    12    12
    67    -7    -7
    71    -3    -3


 

 

 

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관련논문
  • Number Theory as Gadfly
    • B. Mazur, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 7 (Aug. - Sep., 1991), pp. 593-610

 

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