타니야마-시무라 추측(정리)

개요

• 유리수체 위에 정의된 타원 곡선의 Hasse-Weil L-함수와 weight 2인 모듈라 형식의 관계
  

예1. 타원곡선 \(E: y^2=x^3-4x^2+16\)

• 타원곡선
  \(E: y^2=x^3-4x^2+16\)
  conductor = 11
  
• 유리수체 위의 해의 개수
  \(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty)\}\)
  \(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\) :
  \(a_p=p+1-M_p\)
  
• 모듈라 형식
  \(f(\tau)={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{2 }- q^{3 }+ 2 q^{4 }+ q^{5 }+ 2 q^{6 }- 2 q^{7 }- 2 q^{9 }- 2 q^{10 }+ q^{11 }- 2 q^{12 }+ 4 q^{13 }+ 4 q^{14 }- q^{15 }- 4 q^{16 }- 2 q^{17}+\cdots\)
  
• 다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 각각 위에서 정의한 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 이 일반적으로 성립함을 볼 수 있음
  \(\begin{array}{ccc} p & {a_p} & c_p \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & -1 & -1 \\ 5 & 1 & 1 \\ 7 & -2 & -2 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 4 & 4 \\ 17 & -2 & -2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & -1 & -1 \\ 29 & 0 & 0 \\ 31 & 7 & 7 \\ 37 & 3 & 3 \\ 41 & -8 & -8 \\ 43 & -6 & -6 \\ 47 & 8 & 8 \\ 53 & -6 & -6 \\ 59 & 5 & 5 \\ 61 & 12 & 12 \\ 67 & -7 & -7 \\ 71 & -3 & -3 \end{array} \)
  

예2. 타원곡선 \(E: y^2=x^3+x^2+4x+4\)

• 타원곡선
  \(E: y^2=x^3+x^2+4x+4\)
  conductor = 20
  
• 유리수체 위의 해의 개수
  \(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3+x^2+4x+4\}\cup \{(\infty,\infty)\}\)
  \(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\)
  \(a_p=p+1-M_p\)
  
• 모듈라 형식
  \(f(\tau)={\eta(2\tau)^2\eta(10\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{2n})^2(1-q^{10n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{3 }- q^{5 }+ 2 q^{7 }+ q^{9 }+ 2 q^{13 }+ 2 q^{15 }- 6 q^{17 }- 4 q^{19 }- 4 q^{21 }+ 6 q^{23 }+\cdots\)
  
• 다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 임을 볼 수 있음
  \( \begin{array}{ccc} p & a_p & c_p \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & -2 \\ 5 & -1 & -1 \\ 7 & 2 & 2 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 2 & 2 \\ 17 & -6 & -6 \\ 19 & -4 & -4 \\ 23 & 6 & 6 \\ 29 & 6 & 6 \\ 31 & -4 & -4 \\ 37 & 2 & 2 \\ 41 & 6 & 6 \\ 43 & -10 & -10 \\ 47 & -6 & -6 \\ 53 & -6 & -6 \\ 59 & 12 & 12 \\ 61 & 2 & 2 \\ 67 & 2 & 2 \\ 71 & -12 & -12 \end{array} \)
  

예3

• 타원곡선
  \(y^2=x^3-x\)
  
• 모듈라 형식
  \(f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots\)
  

• 타원곡선 y^2=x^3-x 항목 참조
  

modularity theorem

• there exists a finite morphism \(f:X_ 0(N)\to E\) over \mathbb{Q}
  where \(X_ 0(N)\) is the modular curve
  

• http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_modular_curve
  
• http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_curve
  

역사

• 수학사연표

메모

• every elliptic curve over the rational field can be found in the Jacobian variety of the curve which parametrizes elliptic curves with level structure its conductor
  

관련된 항목들

• 페르마의 마지막 정리
  

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZWJhMzExOTYtNGM3Yi00ZWU1LWI2MmYtZGZiNzQ1M2JlYTRm&sort=name&layout=list&num=50
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

• 매스매티카 파일 목록

 

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Taniyama-Shimura-Weil_conjecture
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• Eta-quotients and elliptic curves
  
  • Y Martin, K Ono - Proceedings of the American Mathematical Society, 1997

• Number Theory as Gadfly
  
  • B. Mazur, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 7 (Aug. - Sep., 1991), pp. 593-610
• How the number of points of an elliptic curve over a fixed prime field varies
  
  • B. J. Birch, J. Lond. Math. Soc. 43 (1968), pp. 57--60

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/

 

 

 

관련도서

• Algorithms for modular elliptic curves, J. E. Cremona

 

 

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