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<h5>증명</h5>
 
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먼저 <math>e</math>가 초월수임을 증명해보자. 더 일반적으로 0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수임을 증명할 수 있다.
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먼저 0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수임을 증명하자.
  
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 <math>\alpha</math>가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 에 의해 <math>\{e^0, e^{\alpha}\}</math> 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서 <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다. 
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<math>\alpha</math>가 0이 아닌 대수적수라고 하면면  [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 에 의해 <math>\{e^0, e^{\alpha}\}</math> 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서 <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다. 
  
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이제 <math>\pi</math>가 초월수임을 증명하자.  <math>\pi</math>가 만약 대수적수라면, 
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이제 <math>\pi</math>가 초월수임을 증명하자.  <math>\pi</math>가 만약 대수적수라면, <math>2\pi i</math> 도 대수적수이다. 따라서 <math>e^{2\pi i} =1</math> 은 초월수이다. 그러나 1은 대수적수이므로 모순
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Now, we prove that π is transcendental. If π were algebraic, 2πi would be algebraic too (since 2i is algebraic), and then by the Lindemann–Weierstrass theorem e<sup style="line-height: 1em;">2πi</sup> = 1 (see [http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula Euler's formula]) would be transcendental, which is absurd.
 
  
 
 
 
 

2009년 6월 16일 (화) 16:06 판

증명의 개요

 

 

증명

먼저 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수임을 증명하자.

\(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하면면  린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\) 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서 \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다. 

이제 \(\pi\)가 초월수임을 증명하자.  \(\pi\)가 만약 대수적수라면, \(2\pi i\) 도 대수적수이다. 따라서 \(e^{2\pi i} =1\) 은 초월수이다. 그러나 1은 대수적수이므로 모순

 

 

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