린데만-바이어슈트라스 정리

수학노트
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개요

린데만-바이어슈트라스 정리

서로 다른 대수적수 <math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}</math> 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.

또는

대수적 수 <math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math> 가 유리수체 위에서 선형독립이면, <math>e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}</math> 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 <math>\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})</math>의 transcendence degree가 n이다.




지수함수와 초월수

0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다.

(증명) 

<math>\alpha</math>가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 <math>\{e^0, e^{\alpha}\}</math>  는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서<math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다. ■



지수함수의 실수부와 허수부

실수가 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\operatorname{Re}e^{\alpha}</math>와 <math>\operatorname{Im}e^{\alpha}</math>는 초월수이다.

(증명)

<math>\operatorname{Re}e^{\alpha}=\beta</math>가 대수적수라고 가정하자. <math>\beta</math>가 0이 아님은 쉽게 알 수 있다.

<math>\alpha=a+bi</math> 라 하면, <math>2\beta=e^{a+bi}+e^{a-bi}</math>이다.

<math>e^{a+bi}+e^{a-bi}-2\beta e^0 =0</math>

이제 린데만-바이어슈트라스 정리를 적용하면 원하는 결론을 얻는다. ■




로그함수의 경우

지수함수의 경우로부터 다음을 얻는다.

0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\log \alpha</math> 는 초월수이다.



삼각함수의 경우

0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\sin {\alpha}</math>는 초월수이다.

(증명) <math>\{i\alpha,0 -i\alpha\}</math> 는 서로 다른 대수적 수이므로, 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여

<math>\sin {\alpha} = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}</math>

는 초월수이다. (증명끝)

마찬가지로 0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\cos \alpha</math>는 초월수이다. ■


0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math>에 대하여 <math>\tan \alpha</math>는 초월수이다.

(증명)

<math>\beta= \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}</math>가 대수적수라고 가정하자.

<math>\beta i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})= e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}</math>

<math>(1-i\beta){e^{i\alpha}-(1+i\beta)e^{-i\alpha}}=0</math>

이는 린데만-바이어슈트라스 정리에 모순. ■



<math>\pi</math> 는 초월수이다



역사


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