"엡슈타인 제타함수"의 두 판 사이의 차이

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<math>E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}</math> , <math>\tau = x + iy</math> (<math>y > 0</math>)
 
<math>E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}</math> , <math>\tau = x + iy</math> (<math>y > 0</math>)
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">이차형식과 L-function</h5>
 
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">이차형식과 L-function</h5>
  
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*  양의 정부호인 정수계수이차형식 <math>Q(X,Y)=aX^2+2bXY+cY^2</math> (즉 <math>a>0, m=b^2-ac>0</math>) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의<br><math>E_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+2bXY+cy^2)^s}</math><br>
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*  양의 정부호인 정수계수이차형식 <math>Q(X,Y)=aX^2+2bXY+cY^2</math> (즉<math>a>0</math>, <math>m=b^2-ac>0</math>) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의<br><math>E_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+2bXY+cy^2)^s}</math><br>
  
 
 
 
 
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(따름정리)
 
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<math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와  <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math>
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판별식이 같은 즉 <math>m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2</math> 인 두 이차형식 <math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와  <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math> 에 대하여,
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<math>\lim_{s\to1^{+}}E_{Q_1}-E_{Q_2}(s) = \frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}\frac{\eta(\omega_1)\eta(\omega_2)}{\eta(\tau_1)\eta(\tau_2)}\}</math> 이 성립한다.
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여기서 
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<math>\tau_1=\frac{b_1+i\sqrt{m}}{a_1}</math>, <math>\tau_2=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}</math>
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<math>\omega_1=\frac{b_2+i\sqrt{m}}{a_2}</math>, <math>\omega_2=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}</math>
  
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<math>E_Q(s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)</math><math>\lim_{s\to1^{+}}E_{Q_1}-E_{Q_2}(s) = \frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}\frac{\eta(\omega_1)\eta(\omega_2)}{\eta(\tau_1)\eta(\tau_2)}\}</math>
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2009년 10월 27일 (화) 10:03 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

간단한 소개

\(E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)\)

여기서

\(E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}\) , \(\tau = x + iy\) (\(y > 0\))

 

 

이차형식과 L-function
  • 양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+2bXY+cY^2\) (즉\(a>0\), \(m=b^2-ac>0\)) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의
    \(E_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+2bXY+cy^2)^s}\)

 

(정리)

\(E_Q(s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)\)

여기서 

\(\gamma\) 는 오일러상수, 감마

\(\tau_1=\frac{b+i\sqrt{m}}{a}\), \(\tau_2=\frac{-b+i\sqrt{m}}{a}\)

\(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수.

 

 

(따름정리)

판별식이 같은 즉 \(m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2\) 인 두 이차형식 \(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와  \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\) 에 대하여,

\(\lim_{s\to1^{+}}E_{Q_1}-E_{Q_2}(s) = \frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}\frac{\eta(\omega_1)\eta(\omega_2)}{\eta(\tau_1)\eta(\tau_2)}\}\) 이 성립한다.

여기서 

\(\tau_1=\frac{b_1+i\sqrt{m}}{a_1}\), \(\tau_2=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}\)

\(\omega_1=\frac{b_2+i\sqrt{m}}{a_2}\), \(\omega_2=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}\)

 

 

 

 

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