파이 π는 초월수이다

증명의 개요

• 린데만-바이어슈트라스 정리 를 써서 증명 가능

 

 

증명

먼저 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수임을 증명하자.

\(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하면면  린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\) 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서 \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다.

이제 \(\pi\)가 초월수임을 증명하자. 

 \(\pi\)가 만약 대수적수라면, \(2\pi i\) 도 대수적수이다. 따라서 \(e^{2\pi i} =1\) 은 초월수이다. 그러나 1은 대수적수이므로 모순■

 

 

 

 

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사전형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/초월수
• http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_π_is_irrational
• http://en.wikipedia.org/wiki/transcendental_number
• http://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann–Weierstrass_theorem
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
• http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
• 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집

 

 

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