"엡슈타인 제타함수"의 두 판 사이의 차이
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판별식이 같은 즉 <math>m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2</math> 인 두 이차형식 <math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와 <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math> 에 대하여, | 판별식이 같은 즉 <math>m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2</math> 인 두 이차형식 <math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와 <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math> 에 대하여, | ||
| − | <math>\lim_{s\to1^{+}}E_{Q_1}(s)-E_{Q_2}(s) = \sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{( | + | <math>\lim_{s\to1^{+}}E_{Q_1}(s)-E_{Q_2}(s) = \sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\} =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}\frac{\eta(\omega_1)\eta(\omega_2)}{\eta(\tau_1)\eta(\tau_2)}\}</math> 이 성립한다. |
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<math>\omega_1=\frac{b_2+i\sqrt{m}}{a_2}</math>, <math>\omega_2=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}</math> | <math>\omega_1=\frac{b_2+i\sqrt{m}}{a_2}</math>, <math>\omega_2=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}</math> | ||
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* <math>g_n:=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}</math><br> | * <math>g_n:=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}</math><br> | ||
| − | * [[라마누잔의 class invariants]]<br> | + | * [[라마누잔의 class invariants]] 참조<br> |
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| + | <math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+c_1Y^2</math>와 <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+c_2Y^2</math>에 대하여 위의 정리를 적용하면, | ||
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2009년 10월 27일 (화) 10:30 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
간단한 소개
\(E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)\)
여기서
\(E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}\) , \(\tau = x + iy\) (\(y > 0\))
이차형식과 L-function
- 양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+2bXY+cY^2\) (즉\(a>0\), \(m=b^2-ac>0\)) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의
\(E_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+2bXY+cy^2)^s}\)
(정리)
\(E_Q(s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)\)
여기서
\(\gamma\) 는 오일러상수, 감마
\(\tau_1=\frac{b+i\sqrt{m}}{a}\), \(\tau_2=\frac{-b+i\sqrt{m}}{a}\)
\(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수.
(따름정리)
판별식이 같은 즉 \(m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2\) 인 두 이차형식 \(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와 \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\) 에 대하여,
\(\lim_{s\to1^{+}}E_{Q_1}(s)-E_{Q_2}(s) = \sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\} =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}\frac{\eta(\omega_1)\eta(\omega_2)}{\eta(\tau_1)\eta(\tau_2)}\}\) 이 성립한다.
여기서
\(\tau_1=\frac{b_1+i\sqrt{m}}{a_1}\), \(\tau_2=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}\)
\(\omega_1=\frac{b_2+i\sqrt{m}}{a_2}\), \(\omega_2=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}\)
라마누잔 class invariants 와의 관계
- \(g_n:=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}\)
- 라마누잔의 class invariants 참조
\(Q_1(X,Y)=a_1X^2+c_1Y^2\)와 \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+c_2Y^2\)에 대하여 위의 정리를 적용하면,
\(\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+c_2y^2)^s}\}\)
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
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사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_limit_formula
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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