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2009년 10월 28일 (수) 03:11 판

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간단한 소개

\(E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)\)

여기서

\(E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}\) , \(\tau = x + iy\) (\(y > 0\))

 

 

이차형식과 L-function
  • 양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+2bXY+cY^2\) (즉\(a>0\), \(m=b^2-ac>0\)) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의
    \(E_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+2bXY+cy^2)^s}\)

 

(정리)

\(E_Q(s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)\)

여기서 

\(\gamma\) 는 오일러상수, 감마

\(\tau_1=\frac{b+i\sqrt{m}}{a}\), \(\tau_2=\frac{-b+i\sqrt{m}}{a}\)

\(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수.

 

 

(따름정리)

판별식이 같은 즉 \(m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2\) 인 두 이차형식 \(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와  \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\) 에 대하여,

\(\lim_{s\to1^{+}}E_{Q_1}(s)-E_{Q_2}(s) = \sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\} =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}\frac{\eta(\omega_1)\eta(\omega_2)}{\eta(\tau_1)\eta(\tau_2)}\}\) 이 성립한다.

여기서 

\(\tau_1=\frac{b_1+i\sqrt{m}}{a_1}\), \(\tau_2=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}\)

\(\omega_1=\frac{b_2+i\sqrt{m}}{a_2}\), \(\omega_2=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}\)

 

 

라마누잔 class invariants 와의 관계

\(Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2\)와 \(Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2\), \(m=2ac\)에 대하여 위의 정리를 적용하면, 

\(\tau=i\sqrt\frac[[:틀:2c]]{a}\), \(\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}\)

\(\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{1}{2}}(\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)})^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)})^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}\)

여기서 

 

 

 

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