"판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)"의 두 판 사이의 차이

2009년 7월 3일 (금) 16:10 판

\(\tau\in \mathbb H\) 에 대응되는 타원곡선 \(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)\) 의 판별식은 다음과 주어짐.
\(F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)\)
정의에 따라 \(F\)는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.
이 함수의 \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개는
\(g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)\) 로 주어짐.
\(\Delta(\tau)=q-24q+252q^2\cdots\) 를 discriminant 함수의 정의로 함.
\(\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\)
\(\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\)

데데킨트 에타함수
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,
\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

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 <h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px;">타원곡선의 discriminant</h5>
-* <math>\tau\in \mathbb H</math> 에 대응되는 타원곡선 <math>y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)</math> 의 판별식은 다음과 주어짐.<br><math>g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)</math><br>
+* <math>\tau\in \mathbb H</math> 에 대응되는 타원곡선 <math>y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)</math> 의 판별식은 다음과 주어짐.<br><math>F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)</math><br>
-*  weight 12인 모듈라 형식이 됨.<br>
+*  정의에 따라 <math>F</math>는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.<br>
 *  이 함수의 <math>\tau=i\infty</math>에서의 푸리에 전개는<br><math>g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)</math> 로 주어짐.<br>
 * <math>\Delta(\tau)=q-24q+252q^2\cdots</math> 를 discriminant 함수의 정의로 함.<br>
 * <math>\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =  \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)</math><br>
-* <math>\Delta(\tau)=q-24q+252q^2\cdots</math><br>
+* <math>\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)</math><br>
 * [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)|<math>g_2, g_3</math>]]에 대해서는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]] 항목을 참조<br>