"펠 방정식(Pell's equation)"의 두 판 사이의 차이

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* <math>\sqrt{d}</math> 를 [[연분수와 유리수 근사|연분수]] 전개할때 얻어지는 convergents <math>{h_i}/{k_i}</math> 가 펠방정식의 해가 되는 <math>x=h_i, y=k_i</math> 를 찾을 수 있으며, 이 때  <math>x</math>값을 가장 작게 하는 해를 fundamental solution 이라 함.
 
* <math>\sqrt{d}</math> 를 [[연분수와 유리수 근사|연분수]] 전개할때 얻어지는 convergents <math>{h_i}/{k_i}</math> 가 펠방정식의 해가 되는 <math>x=h_i, y=k_i</math> 를 찾을 수 있으며, 이 때  <math>x</math>값을 가장 작게 하는 해를 fundamental solution 이라 함.
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* [[연분수와 유리수 근사]] 에서 펠 방정식에 관련한 중요한 정리는 다음과 같다
 
  
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* 무리수 <math>\alpha</math>에 대하여, 유리수 <math>p/q</math>가 아래의 부등식을 만족시키는 경우,  <math>p/q</math>는 무리수 <math>\alpha</math>의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다
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펠방정식의 해는 연분수 전개의 convergents 중에서 찾을 수 있다.
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무리수 <math>\alpha</math>에 대하여, 유리수 <math>p/q</math>가 아래의 부등식을 만족시키는 경우,  <math>p/q</math>는 무리수 <math>\alpha</math>의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다
  
 
<math>|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{2{q^2}}</math>
 
<math>|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{2{q^2}}</math>
  
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*  펠방정식의 정수해 <math>x_{1}^2-dy_{1}^2=1</math> 는  <math>x_{1}^2-dy_{1}^2=(x_{1}+\sqrt{d}y_{1})(x_{1}-\sqrt{d}y_{1})=1</math>를 만족시키며,<br><math>|x_{1}-\sqrt{d}y_{1}|=1/|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}|</math><br><math>|x_{1}-\sqrt{d}y_{1}|=1/|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}|</math><br>
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이 정리는 이용하자.
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펠방정식의 정수해 <math>x_{1}^2-dy_{1}^2=1</math> 는  <math>x_{1}^2-dy_{1}^2=(x_{1}+\sqrt{d}y_{1})(x_{1}-\sqrt{d}y_{1})=1</math>를 만족시키므로,
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<math>|\sqrt{d}-\frac{x_{1}}{y_{1}}|=\frac{1}{|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}||y_{1}|}<\frac{1}{\sqrt{d}y_{1}^{2}}\leq \frac{1}{2y_{1}^{2}}</math>
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따라서,  펠방정식의 해는 연분수 전개의 convergents 중에서 찾을 수 있다. ■
  
 
 
 
 

2010년 8월 21일 (토) 18:26 판

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간단한 소개
  • \(x^2-dy^2=1\) (\(d\) 는 완전제곱수를 약수로 갖지 않는 1보다 큰 자연수)형태의 디오판투스 방정식
  • 연분수 전개를 통하여 모든 해를 구할 수 있음
  • 해의 집합은 군의 구조를 통하여 이해할 수 있음
  • \(x^2-dy^2=\pm 1\) 의 자연수 해를 구하는 문제는 실수 이차 수체의 unit 을 구하는 문제와 같음

 

 

연분수 전개와 fundamental solution
  • \(\sqrt{d}\) 를 연분수 전개할때 얻어지는 convergents \({h_i}/{k_i}\) 가 펠방정식의 해가 되는 \(x=h_i, y=k_i\) 를 찾을 수 있으며, 이 때  \(x\)값을 가장 작게 하는 해를 fundamental solution 이라 함.

 

(정리)

펠방정식의 해는 연분수 전개의 convergents 중에서 찾을 수 있다.

(증명)

연분수와 유리수 근사 에서 펠 방정식에 관련한 중요한 정리는 다음과 같다

무리수 \(\alpha\)에 대하여, 유리수 \(p/q\)가 아래의 부등식을 만족시키는 경우,  \(p/q\)는 무리수 \(\alpha\)의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다

\(|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{2{q^2}}\)

이 정리는 이용하자.

펠방정식의 정수해 \(x_{1}^2-dy_{1}^2=1\) 는  \(x_{1}^2-dy_{1}^2=(x_{1}+\sqrt{d}y_{1})(x_{1}-\sqrt{d}y_{1})=1\)를 만족시키므로,

\(|x_{1}-\sqrt{d}y_{1}|=1/|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}|\)

\(|\sqrt{d}-\frac{x_{1}}{y_{1}}|=\frac{1}{|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}||y_{1}|}<\frac{1}{\sqrt{d}y_{1}^{2}}\leq \frac{1}{2y_{1}^{2}}\)

따라서,  펠방정식의 해는 연분수 전개의 convergents 중에서 찾을 수 있다. ■

 

 

d=7인 경우
  • 연분수 전개를 통한 유리수근사
    \(\frac{2}{1},\frac{3}{1},\frac{5}{2},\frac{8}{3},\frac{37}{14}\cdots\)
  • 펠방정식의 해 찾기
    \(2^2-d\cdot 1^2=-3\)
    \(3^2-d\cdot 1^2=2\)
    \(5^2-d\cdot 2^2=-3\)
    \(8^2-d\cdot 3^2=1\)
    \(37^2-d\cdot 14^2=-3\)
  • 따라서 펠방정식 \(x^2-7y^2=1\)의 fundamental solution 은 \((8,3)\) 이된다

 

 

d=13
  • fundamental soltion \((x_1,y_1)\) 가 \(y_1>6\) 를 만족시키는 가장 작은 d
  • \(649^2-13\cdot180^2=1\)

 

 

d=109
  • 페르마의 문제
  • \(158070671986249^2 -109\cdot15140424455100^2=1\)

 

 

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