"포드 원 (Ford Circles)"의 두 판 사이의 차이

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위 그림에서, 점 <math>A</math> 에서 선분 <math>\overline{BG}</math> 위에 내린 발을 <math>C</math> 라 하자. 그러면 삼각형
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위 그림에서, 점 <math>A</math> 에서 선분 <math>\overline{BG}</math> 위에 내린 발을 <math>C</math> 라 하자. 그러면 삼각형 <math>\triangle ACB</math> 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,
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<math>\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2</math> 이다. 포드 원의 정의에서 <math>A(\frac{q}{p}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{Q}{P}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{Q}{P},\frac{1}{2q^2} )</math> 이므로, 각 변의 길이를 구해서 정리하면 <math>\overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2}</math> 를 얻는다. 여기서,
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i.   <math>Pq -pQ > 1</math> 이면, 두 원은 서로 떨어져 있다.
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ii.  <math>Pq -pQ = 1</math>
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2009년 8월 17일 (월) 20:17 판

간단한 소개

[[Media:|]]

  • \(p,q\)가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 \((\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})\) 이고, 반지름이 \(\frac{1}{2q^2}\)인 원을 포드 원이라 함
    • \(y=0\)에 접함

 

 

관찰

위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 \(x\) 좌표이다.)

 

  • \(p,q\)가 서로소인 자연수들이니까, 원 중심의 \(x\) 좌표들은 기약분수들이 되겠다.
  • 서로 겹치는 두 Ford circle 은 없는 듯 하다.
  • 접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?
    • \(\frac35 , \frac23\)      \(\frac35 , \frac58\)      \(\frac58, \frac23\)      \(\frac58, \frac{7}{11}\)   ...
    • \(10-9 = 25-24 = 16 - 15 = 56 - 55 = \cdots = 1\)
  • 서로 접하는 세 포드 원 사이에는?
    • \(\frac35, \frac58 , \frac23\)      \(\frac35, \frac{8}{13} , \frac58\)      \(\frac58, \frac{7}{11} , \frac23\)      \(\frac47, \frac{7}{12} , \frac35\)
    • 뭔가 발견했는가?
  • 이제 Farey series 를 읽고 다시 돌아오자. (오른쪽 클릭 - 새 탭 열기/새 창 열기)

 

관찰의 증명
  1. 서로 겹치는 두 포드 원은 없음.

Proof.

아래에 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(q/p\) 인 원이고, 원 B 는 중심의 \(x\) 좌표가 \(Q/P\) 인 원이다. (\(p,q, P, Q\) 는 자연수, \(gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1\))

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위 그림에서, 점 \(A\) 에서 선분 \(\overline{BG}\) 위에 내린 발을 \(C\) 라 하자. 그러면 삼각형 \(\triangle ACB\) 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,

\(\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2\) 이다. 포드 원의 정의에서 \(A(\frac{q}{p}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{Q}{P}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{Q}{P},\frac{1}{2q^2} )\) 이므로, 각 변의 길이를 구해서 정리하면 \(\overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2}\) 를 얻는다. 여기서,

i.   \(Pq -pQ > 1\) 이면, 두 원은 서로 떨어져 있다.

ii.  \(Pq -pQ = 1\)

 

 

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