모래더미 사태분포의 여러겹 쪽거리 분석

모래더미 모형에서 사태를 기술하는 여러 양들의 분포가 거듭제곱 꼴을 따른다는 건 이미 잘 알려져 있지요. 그런데 가장 표준적인 모형인 2차원 BTW 모형에 대해서조차 아직 정확한 해가 없을 뿐만 아니라 컴퓨터 시늉내기 결과에 대한 해석도 분분합니다. 상황을 더 어렵게 만드는 건 2차원 BTW 모형의 경우 사태의 분포가 단순한 눈금잡기 형태가 아니라 여러 눈금잡기 행동이 섞여 있는, 즉 여러겹 쪽거리(multifractal) 성질을 보인다는 겁니다.

통계물리의 보편성 분류는 하나의 분류에 포함된 모형들이 모두 같은 임계지수로 기술된다는 건데요, 즉 임계지수가 정의되면 그 값은 1개만 있어야 한다는 거죠. 예를 들어 2차원 이징 모형 분류의 임계지수 β는 1/8로 알려져 있습니다. 그런데 여러 눈금잡기 행동이 동시에 존재한다는 건 그렇게 하나의 값만을 갖는 임계지수로 보편성 분류를 나눌 수 없다는 걸 뜻합니다. 이를테면 하나의 시스템에 β가 0.1부터 0.3까지 연속적인 값을 갖는 경우가 있을 수 있겠죠.

그럼 1999년에 <피지컬 리뷰 레터스(PRL)>에 실린 테발디 등의 논문을 참고하여 얘기해보겠습니다. 시스템의 크기가 L인 2차원 격자 위에서 일어난 사태의 질량(avalanche mass = the number of topplings; 무너진 횟수)을 s라고 하고 이들의 분포를 P(s,L)이라고 합시다. 만일 단순한 눈금잡기로 기술된다면 다음처럼 두 개의 임계지수만을 이용하여 쓸 수 있습니다.

\($P(s,L)\sim s^{-\tau}F(s/L^D),\ F(x)\sim \left\{\begin{array}{ll}const. & \textrm{if } x\ll 1\\ x^{\tau} & \textrm{if } x\gg 1\end{array}\right.\)

여기서 F는 시스템의 크기가 유한하기 때문에 생긴 절단(cutoff)을 의미하며, L^D는 s의 최대값에 해당한다고 볼 수 있습니다. 이 분포를 이용하여 s의 q 제곱 모멘트를 구할 수 있습니다.

\(\langle s^q\rangle = \int_{s_0}^{L^D} ds s^q P(s,L)\sim L^{\sigma(q)},\ \sigma(q)= \left\{\begin{array}{ll}D(q+1-\tau) & \textrm{if } q+1>\tau \\ 0 & \textrm{if } q+1<\tau\end{array}\right.\)

이제 여러겹 쪽거리 분석을 해봅시다. 앞 글에서 정의한 α와 f(α)와 부호가 다를 수는 있는데, 다음처럼 써봅시다.

\(s\sim L^\alpha,\ P(s,L)\sim L^{f(\alpha)}\)

우선 α가 D보다 크다면 최대값보다 큰 사태질량을 뜻하므로 그런 사태가 나타날 확률은 0이라고 해야겠죠. 즉 f(α)는 음의 무한대입니다. 이제 그 반대의 경우를 생각해보면, 위에서 F는 상수로 볼 수 있고 f(α)는 -ατ가 됩니다.

실제로 α를 변화시키면서 f(α)를 재보고 그게 위 그림의 빨간 선처럼 깔끔하게 나오면 단순한 눈금잡기(simple scaling)라고 할 수 있고, 그게 아니라면(파란 선의 경우) 여러겹 쪽거리 성질이 나타난다고 할 수 있습니다. 위 논문에서는 사태의 넓이, 즉 무너지기가 일어난 자리의 개수의 분포는 단순한 눈금잡기로 볼 수 있지만(빨간 선 모양), 사태질량의 분포는 단순한 눈금잡기로 설명되지 않고 여러겹 쪽거리 분석을 해야 한다는 겁니다(파란 선 모양).

위 그림의 파란 곡선

 

BTW 모형에서 무너지기 규칙에 확률적인 요소가 도입된 만나(Manna) 모형은 질량에 대해서도 단순한 눈금잡기가 관찰된다고 합니다.

이쯤에서 여러겹 쪽거리가 뭘 하자는 건지 생각해보겠습니다.