힐베르트 부호

정의

• K : local field

\[(a,b)=\begin{cases}1,&\mbox{ if }z^2=ax^2+by^2\mbox{ has a non-zero solution }(x,y,z)\in K^3;\\-1,&\mbox{ if not.}\end{cases}\]

성질

• 다음을 만족한다

\[(u^2,v)=1\] \[(u,v)=(v,u)\] \[(u_1u_2,v)=(u_1,v)(u_2,v)\] \[(u,1-u)=1\]

유리수 체에서의 힐베르트 부호

p에 대한 힐베르트 부호

• $p=\infty$ 일 때,

\[(a,b)_{\infty}= \begin{cases} 1,&\mbox{ if }a>0 \mbox{ or } b>0 \\ -1,& \mbox{ if }a<0 \mbox{ and } b<0 \end{cases} \]

• 홀수인 소수 p에 대하여, \(a = p^{\alpha} u\) and \(b = p^{\beta} v\)이면

\[(a,b)_p = (-1)^{\alpha\beta\epsilon(p)} \left(\frac{u}{p}\right)^\beta \left(\frac{v}{p}\right)^\alpha\] 여기서 \(\epsilon(p) = (p-1)/2\)

• $p=2$일 경우, \(a = 2^\alpha u\), \(b = 2^\beta v\)라 두면

\[(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)}\] 여기서 \(\omega(x) = (x^2-1)/8\).

상호법칙

• 유한개의 $p$에 대해서만 $(a,b)_p =-1$ 이 된다
• 다음이 성립한다

\[\prod_p (a,b)_p = 1\]

• 이차잉여의 상호법칙

예

\begin{array}{c|c|c} p & (7,11)_p & (2,5)_p \\ \infty & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & -1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 11 & -1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \\ 19 & 1 & 1 \\ 23 & 1 & 1 \\ 29 & 1 & 1 \\ 31 & 1 & 1 \\ 37 & 1 & 1 \\ 41 & 1 & 1 \\ 43 & 1 & 1 \\ 47 & 1 & 1 \\ \vdots & 1 & 1 \\ \end{array}

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Steinberg_symbol
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_symbol