힐베르트 부호
개요
- 힐베르트 부호 또는 힐베르트 norm residue 부호로 불리기도 함
- local field 위에서의 이차형식을 공부하는데 중요한 도구
정의
- K : local field
\[(a,b)=\begin{cases}1,&\mbox{ if }z^2=ax^2+by^2\mbox{ has a non-zero solution }(x,y,z)\in K^3;\\-1,&\mbox{ if not.}\end{cases}\]
성질
- 다음을 만족한다
\[(u^2,v)=1\] \[(u,v)=(v,u)\] \[(u_1u_2,v)=(u_1,v)(u_2,v)\] \[(u,1-u)=1\]
유리수 체에서의 힐베르트 부호
- \(\mathbb{Q}^{\times}/(\mathbb{Q}^{\times})^2\)의 구조를 알면 쉽게 계산할 수 있다
p에 대한 힐베르트 부호
- \(p=\infty\) 일 때,
\[(a,b)_{\infty}= \begin{cases} 1,&\mbox{ if }a>0 \mbox{ or } b>0 \\ -1,& \mbox{ if }a<0 \mbox{ and } b<0 \end{cases} \]
- 홀수인 소수 p에 대하여, \(a = p^{\alpha} u\) and \(b = p^{\beta} v\)이면
\[(a,b)_p = (-1)^{\alpha\beta\epsilon(p)} \left(\frac{u}{p}\right)^\beta \left(\frac{v}{p}\right)^\alpha\] 여기서 \(\epsilon(p) = (p-1)/2\)
- \(p=2\)일 경우, \(a = 2^\alpha u\), \(b = 2^\beta v\)라 두면
\[(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)}\] 여기서 \(\omega(x) = (x^2-1)/8\).
상호법칙
- 유한개의 \(p\)에 대해서만 \((a,b)_p =-1\) 이 된다
- 다음이 성립한다
\[\prod_p (a,b)_p = 1\]
예
\begin{array}{c|c|c} p & (7,11)_p & (2,5)_p \\ \infty & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & -1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 11 & -1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \\ 19 & 1 & 1 \\ 23 & 1 & 1 \\ 29 & 1 & 1 \\ 31 & 1 & 1 \\ 37 & 1 & 1 \\ 41 & 1 & 1 \\ 43 & 1 & 1 \\ 47 & 1 & 1 \\ \vdots & 1 & 1 \\ \end{array}
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
메타데이터
위키데이터
- ID : Q7606831
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'steinberg'}, {'LEMMA': 'symbol'}]