스펙트럼 제타 함수

개요

• 컴팩트 smooth 리만 다양체 $M$ 에 정의된 라플라시안(Laplacian) $\Delta$의 스펙트럼을 이해하기 위한 해석적 도구
• $-\Delta$ 는 positive이고, 스펙트럼은 다음과 같이 주어짐

$$0=\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots, \lim_{j\to \infty}\lambda_j=\infty$$

• $n_j$를 $\lambda_j$의 고유벡터의 차원이라 하면, 스펙트럼 제타함수는 다음과 같이 정의

$$ \zeta_M(s)=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{n_j}{\lambda_j^s} $$

• $j\to \infty$일 때, $\lambda_{j}\sim j^{2/\dim M}$ 이므로, $\Re s>\frac{1}{2}\dim M$에서 수렴
• 전체 복소평면으로 meromorphic 확장

라플라시안의 행렬식

• $\det -\Delta=\prod_{j=1}^{\infty}\lambda_j^{n_j}:=e^{-\zeta'_M(0)}$

예

• $\tau=x+iy\in \mathbb{C}$가 $y>0$를 만족
• $M=\mathbb{C}/L_{\tau}$ where $L_{\tau}=\{a+b\tau|a,b\in \mathbb{Z}\}$ 은 복소 타원 곡선
• 스펙트럼은 다음과 같이 주어짐 (모든 j에 대하여, $n_j=1$)

$$ \{\lambda_{mn}:=\frac{4\pi^2}{y^2}|m+n\tau|^2\}_{m,n\in \mathbb{Z}} $$

• 스펙트럼 제타함수는 다음과 같다

$$ \zeta_{M}(s)=\frac{y^s}{(4\pi^2)^s}E(s,\tau) $$ 여기서 $E(\tau,s)$는 아이젠슈타인 급수 \[E(\tau,s)=\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}\]

• 크로네커 극한 공식로부터 $\zeta'_{M}(0)=-\log(y^2|\eta(\tau)|^4)$를 얻는다
  • \(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수
• 따라서 라플라시안의 행렬식은 $\det -\Delta=y^2|\eta(\tau)|^4$

관련된 항목들

• 라플라시안(Laplacian)
• 모든 자연수의 곱과 리만제타함수
• Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식

수학용어번역

• spectral - 대한수학회 수학용어집

관련논문

• Minakshisundaram, S.,å. Pleijel. 1949. “Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-Operator on Riemannian manifolds”. Canadian Journal of Mathematics 1 (3) (6월 1): 242–256. doi:10.4153/CJM-1949-021-5.