응집 전이의 분배함수 증명

이웃한 자리 사이의 상호작용이 존재하여 더이상 '영거리' 과정이라고 부를 수 없는;;; 이 모형을 뭐라 불러야 하나 궁금해서 논문을 보니 별 말이 없네요. '응집 전이(condensation transition)'라고 제목을 달았지만 '물질 수송(mass transport)' 모형이라든지 하는 말들도 있는 듯 합니다. 영거리 과정 - 이웃 상호작용(블로그 링크)에서 분배함수 구하는 걸 증명 없이 썼는데, 이 글에서는 간단히 증명해보려고 합니다.

\[Z_N(z)=\sum_{m_1,\cdots,m_N}T_{m_1m_2}T_{m_2m_3}\cdots T_{m_Nm_1}={\rm Tr}\ T(z)^N\]

\[T_{mn}=z^{(m+n)/2}g(m,n)\]

분배함수를 T^N의 대각합(trace)으로 쓸 수 있는데, 모양이 꼭 1차원 이징 모형의 분배함수 같죠. 이징 모형을 풀 때 저런 T를 '전달행렬(transfer matrix)'이라 불렀습니다. 행렬 T의 m,n 위치에 있는 원소를 다음처럼 기저(basis) |m>을 이용해 나타낼 수 있습니다. \[T_{mn}=\langle m|T|n\rangle,\ \sum_m|m\rangle \langle m|=1,\ \langle m|n\rangle=\delta_{mn}\]

그러면,

\[ \begin{aligned} Z_N(z)&=\sum_{\{m_i\}}T_{m_1m_2}T_{m_2m_3}\cdots T_{m_Nm_1}\\ {}&=\sum_{\{m_i\}}\langle m_1|T|m_2\rangle \langle m_2|T|m_3\rangle\cdots\langle m_N|T|m_1\rangle\\ {}&=\sum_{m_1}\langle m_1|T^N|m_1\rangle={\rm Tr}\ T^N \end{aligned} \]

이렇게 됩니다. 다음으로 m의 분포함수를 보겠습니다. \[\pi(m)=\frac{1}{Z_N(z)}\sum_{m_2,\cdots,m_N}T_{mm_2}T_{m_2m_3}\cdots T_{m_Nm}\]

위와 같은 방식으로 정리해주면 다음 결과가 나옵니다. \[\sum_{m_2,\cdots,m_N}T_{mm_2}T_{m_2m_3}\cdots T_{m_Nm}=\langle m|T^N|m\rangle\]

이제 T의 고유값과 고유벡터를 모두 구했다고 하면, 아래 왼쪽처럼 쓸 수 있지요. \[T=\sum_i\lambda_i|\phi_i\rangle\langle\phi_i|,\ T^N=\sum_i\lambda_i^N|\phi_i\rangle\langle\phi_i|\simeq \lambda_{\rm max}^N|\phi\rangle\langle\phi|\]

이걸 N제곱 하고난 후 N을 매우 크다고 가정하면 고유값 중 가장 큰 놈만 살아남습니다. 그 가장 큰 고유값에 해당하는 고유벡터를 그냥 φ로 쓰겠습니다. 이것들은 아래처럼 원래 기저로 표현되지요. \[|\phi\rangle=\sum_m \phi_m|m\rangle,\ \phi_m=\langle m|\phi\rangle\]

결과적으로, \[\langle m|T^N|m\rangle=\lambda_{\rm max}^N\phi_m^2\ \] \[\therefore\ \pi(m)=\phi_m^2\]

가 나옵니다. 끝.