영거리 과정 - 이웃 상호작용

이번에는 독일 브레멘의 마이어-오르트만(H. Meyer-Ortmanns) 교수와 라이프찌히의 얀케(W. Janke) 교수 그룹의 공동연구 결과로 나온 아카이브 논문(arXiv:0907.4148v1)을 참고했습니다. 표기가 조금 다른데, 그냥 다른대로 쓰겠습니다;;; 지금까지 영거리 과정이 '영거리'였던 이유는 입자들이 같은 자리(site)에 있을 때에만 상호작용했기 때문입니다. 여기서는 한 자리와 그에 이웃한 자리에 있는 입자들 사이의 상호작용까지 고려하면 어떻게 될까를 다룹니다. 보통 이웃한 자리의 상호작용을 한곳 상호작용(local interaction)이라 부르므로 영거리 상호작용을 극-한곳 상호작용(ultralocal interaction)이라 부릅니다. 역시 번역은 제멋대로;;; 또한 더이상 '영거리 과정'이 아니네요.

이번에는 좀 알기 쉬운 예를 들어 정상상태를 구해보겠습니다. 단 4개의 자리로 이루어진 시스템을 생각합니다. 1번 자리의 입자는 2번 자리로만 움직이고, 2번 자리의 입자는 3번 자리로만, 3번은 4번으로, 4번은 1번으로 돌고도는 시스템입니다. i번째 자리에 m_i개 입자가 있다고 합시다. 그럼 시스템이 어떤 상태 {m₁,m₂,m₃,m₄}에 있을 확률을 편의상 P(1234)라고 합시다;;; 1번 자리에 있던 입자가 2번으로 뛸 비율은 2번 자리의 입자 개수뿐만 아니라 4번 자리의 입자 개수에도 의존하는 걸 생각합니다. 이걸 u(m₁|m₄,m₂)로 쓰는데 편의상;; u(1|42)라고 하겠습니다. 그럼 으뜸방정식의 정상상태 조건은 다음처럼 나옵니다. \[ \begin{aligned} &P(1^+2^-34)u(1^+|42^-)+P(12^+3^-4)u(2^+|13^-)\\ &+P(123^+4^-)u(3^+|24^-)+P(1^-234^+)u(4^+|31^-)\\ &=P(1234)[u(1|42)+u(2|13)+u(3|24)+u(4|31)] \end{aligned} \]

1⁺는 m₁+1을 뜻하며, 1^-는 m₁-1을 뜻합니다. 막상 식을 쓰고나니 이게 뭔가 싶군요. '편의상' 쓰다보니;;; 이렇게 써놓으면 손으로 수식 전개할 때 편해서 종종 이럽니다. 영거리 과정에서는 정상상태가 완전히 분해된다(factorized)고 했죠. 여기서는 이웃 사이의 상호작용이 있으므로 아래처럼 '짝'으로 분해됩니다. 그래서 이걸 '짝분해된 정상상태(pair-factorized steady state; PFSS)'라 부르네요.

\[P(1234)=g(12)g(23)g(34)g(41)\]

이러한 가정도 자연스러운데요, 이웃하고만 상호작용하니까 이웃끼리 묶어서 분해할 수 있겠죠. 이걸 위의 정상상태 조건에 넣고요, 좌변의 항 하나에 우변의 항 하나를 같다고 합니다. 좌변의 첫번째 항과 우변의 두번째 항이 같다고 합시다. \[g(1^+2^-)g(2^-3)g(41^+)u(1^+|42^-)=g(12)g(23)g(41)u(2|13)\]

정리하면,

\[\frac{u(1^+|42^-)g(1^+2^-)g(41^+)}{g(12^-)g(41)}=\frac{u(2|13)g(12)g(23)}{g(12^-)g(2^-3)}\]

원래 앞의 식에 없었던 g(12^-)를 양변의 분모에 더 넣었습니다. 이제 좌변은 1,2,4만의 함수고 우변은 1,2,3만의 함수죠. 변수가 다른데 양변이 같으므로(라고 써도 되나;;) 양변 모두 어떤 상수라고 합시다. 편의상 1로 놓겠습니다.

\[u(2|13)=\frac{g(12^-)g(2^-3)}{g(12)g(23)}\equiv f(12)f(23)\]

이제 좀 그림이 그려지죠. 우변의 f는 별로 중요하진 않지만 2번 자리에 있는 입자가 뛸 때 1번 자리와 3번 자리의 입자들에 의해 영향을 받지만, 1번 자리로부터의 영향과 3번 자리로부터의 영향은 분리해서 생각할 수 있다는 뜻입니다. 사실 논문에서는 u로부터 f를 먼저 정의한 후에 g가 도입되고 이로부터 정상상태가 짝분해된다는 걸 보이는데, 저는 거꾸로 해봤습니다.

여튼 좀 제대로 다시 씁니다.

\[u(m_i|m_{i-1},m_{i+1})\equiv f(m_i,m_{i-1})f(m_i,m_{i+1}),\ f(m,n)=\frac{g(m-1,n)}{g(m,n)}\]

\[P(\vec m)=\prod_{i=1}^N g(m_i,m_{i+1})\delta_{\sum_i m_i,M},\ g(m,n)=g(n,m)\]

그리고 g는 두 인수에 대해 대칭입니다. 저자들은 g를 다음과 같은 형태로만 쓰겠다고 합니다. \[g(m,n)=K(|m-n|)\sqrt{p(m)p(n)}\]

K(x)가 1이면 원래 ZRP로 돌아갑니다. 더 구체적으로 K와 p의 함수형태를 가정하여 풀기 전에, 일반적인 결과들을 먼저 좀더 보겠습니다.

P가 있으니, 바름틀 분배함수뿐만 아니라 큰 바름틀 분배함수도 얻어집니다. \[ \begin{aligned} Z_N(z)&=&\sum_{\{m_i\}}z^{\sum_im_i}\prod_i g(m_i,m_{i+1})\\ &=&\sum_{m_1,\cdots,m_N}T_{m_1m_2}T_{m_2m_3}\cdots T_{m_Nm_1}={\rm Tr}\ T(z)^N \end{aligned} \] \[T_{mn}=z^{(m+n)/2}g(m,n)\]

위의 T_mn으로 이루어진 행렬 T가 얻어지는데 전달행렬의 역할을 한다고 볼 수 있습니다. 그리고 분배함수는 T로 표현되고 결국 T의 고유값과 고유벡터를 구하면 문제가 풀리는 거고요. N이 매우 크다고 하면 가장 큰 고유벡터만 남고 나머지 것들은 모두 무시합니다. 여튼 이 분배함수로부터 입자 밀도를 ZRP에서 소개한 식을 그대로 이용하여 얻습니다. 그런데 입자 개수의 분포는 조금 다르게 정의됩니다. \[\pi(m)=\frac{1}{N}\Big\langle \sum_i\delta_{m,m_i}\Big\rangle=\frac{1}{Z_N(z)}\sum_{m_2,\cdots,m_N}T_{mm_2}T_{m_2m_3}\cdots T_{m_Nm}\]

역시 이걸 풀려면 T의 고유값과 고유벡터를 구해야 합니다. \[T\vec\phi=\lambda_{\rm max}\vec\phi,\ \vec\phi=\{\phi_0,\phi_1,\cdots,\phi_m,\cdots\}\]

어짜피 최대 고유값만 관심이 있습니다. \[Z_N(z)\simeq \lambda_{\rm max}^N,\ \pi(m)=\phi_m^2,\ \rho_c=\sum_m m\phi_m^2\]

고유벡터는 규격화되어 있다고 가정했고, 또한 임계 밀도가 존재한다고 가정했습니다. 이제 웬만큼 기본 세팅이 끝났네요. 오늘은 여기까지 합니다.