"타원 모듈라 λ-함수"의 두 판 사이의 차이
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| − | ** <math>k(\tau)</math>에 | + | ** <math>k(\tau)</math>에 대해서는 [[타원적분의 singular value k]] 참조 |
| − | * | + | * 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 <math>j</math>-불변량([[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]])에 그 자리를 내줌 |
| − | * | + | * level 2 인 congruence [[모듈라 군(modular group)]] <math>\Gamma(2)</math>에 대한 모듈라 함수가 됨:<math>\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}</math> |
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| − | :<math>\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}</math | + | :<math>\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}</math> |
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:<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math> | :<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math> | ||
| − | * <math>\tau=\omega_2/\omega_1</math> | + | * <math>\tau=\omega_2/\omega_1</math> 로 두면, 다음을 얻는다 |
| − | :<math>\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}</math> | + | :<math>\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}</math> 여기서 |
| − | * <math>e_1,e_2,e_3,\infty</math> | + | :<math>e_1=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2),\quad e_2=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2),\quad e_3=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math> |
| − | * [[교차비(cross ratio)|사영기하학과 교차비]] | + | * <math>e_1,e_2,e_3,\infty</math> 네 점의 교차비로 이해할 수 있음 |
| − | * <math>z_4=\infty</math> | + | * [[교차비(cross ratio)|사영기하학과 교차비]] 항목 참조 |
| + | * <math>z_4=\infty</math> 인 경우 | ||
| + | :<math>(z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}</math> | ||
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==모듈라군에 의한 변환== | ==모듈라군에 의한 변환== | ||
| − | * [[모듈라 군(modular group)]]에 의한 변환 | + | * [[모듈라 군(modular group)]]에 의한 변환 |
| − | * 생성원:<math>S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math | + | * 생성원:<math>S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> |
| − | * <math>T: \tau \to \tau+1</math>에 의한 변화:<math>\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \omega_1+\omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix}</math>:<math>e_1'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1</math>:<math>e_2'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3</math>:<math>e_3'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2</math>:<math>\lambda(\tau+1)=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}</math | + | * <math>T: \tau \to \tau+1</math>에 의한 변화:<math>\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \omega_1+\omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix}</math>:<math>e_1'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1</math>:<math>e_2'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3</math>:<math>e_3'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2</math>:<math>\lambda(\tau+1)=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}</math> |
| − | * <math>S: \tau \to -\frac{1}{\tau}</math>에 의한 변화:<math>\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}</math>:<math>e_1'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2</math>:<math>e_2'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1</math>:<math>e_3'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3</math>:<math>\lambda(-\frac{1}{\tau})=\frac{e_3-e_1}{e_2-e_1}=1-\lambda(\tau)</math | + | * <math>S: \tau \to -\frac{1}{\tau}</math>에 의한 변화:<math>\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}</math>:<math>e_1'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2</math>:<math>e_2'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1</math>:<math>e_3'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3</math>:<math>\lambda(-\frac{1}{\tau})=\frac{e_3-e_1}{e_2-e_1}=1-\lambda(\tau)</math> |
| − | * | + | * 따라서 [[모듈라 군(modular group)]]에 의해, 다음과 같은 값을 취할 수 있게 된다 |
| − | :<math> \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}}, 1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}</math | + | :<math> \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}}, 1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}</math> |
| − | * 이러한 | + | * 이러한 표현은 [[교차비(cross ratio)]]에서 등장함 |
| − | * <math>\Gamma/\Gamma(2)</math | + | * <math>\Gamma/\Gamma(2)</math> |
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==타원 모듈라 j-함수와의 관계== | ==타원 모듈라 j-함수와의 관계== | ||
| − | * [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]] | + | * [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]] |
:<math>j(\tau)=256\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2}</math> | :<math>j(\tau)=256\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2}</math> | ||
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(\lambda(\tau)+k)( {1\over\lambda(\tau)}+k)({1\over{1-\lambda(\tau)}}+k)( 1-\lambda(\tau)+k)( {\lambda(\tau)\over{\lambda(\tau)-1}}+k)( {{\lambda(\tau)-1}\over\lambda(\tau)}+k)=-\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2} | (\lambda(\tau)+k)( {1\over\lambda(\tau)}+k)({1\over{1-\lambda(\tau)}}+k)( 1-\lambda(\tau)+k)( {\lambda(\tau)\over{\lambda(\tau)-1}}+k)( {{\lambda(\tau)-1}\over\lambda(\tau)}+k)=-\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2} | ||
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| − | 모듈라군에 의한 변환에서 얻은 결과로 이 | + | 모듈라군에 의한 변환에서 얻은 결과로 이 함수는 [[모듈라 군(modular group)]]에 의하여 불변임을 알 수 있다. |
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==special values== | ==special values== | ||
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| − | + | ==모듈라 다항식== | |
| + | * $P_n\bigl(16\lambda(n\tau),16\lambda(\tau)\bigr)=0$를 만족하는 다항식 $P_n(x,y)\in{\mathbb{ | ||
| + | Z}}[x,y]$이 존재하며, 이 때 차수는 $x,y$ 각각에 대하여 $\Psi(n)=\prod_{p|n}(1+1/p)$로 주어진다 | ||
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==역사== | ==역사== | ||
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* [[수학사 연표]] | * [[수학사 연표]] | ||
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==메모== | ==메모== | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVnZXY0loNjZLT00/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVnZXY0loNjZLT00/edit | ||
| − | + | * http://oeis.org/A115977 | |
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==사전 형태의 자료== | ==사전 형태의 자료== | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_lambda_function | * http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_lambda_function | ||
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| + | ==관련논문== | ||
| + | * Mirokov, V. D. 2009. “On Some Properties of a Modular Polynomial for the Lambda Function.” Rossi\uı Skaya Akademiya Nauk. Matematicheskie Zametki 86 (2): 237–255. doi:http://dx.doi.org//10.1134/S0001434609070244. | ||
==관련도서== | ==관련도서== | ||
| − | * '''[AHL1979]'''Lars Ahlfors, [http://www.amazon.com/Complex-Analysis-Lars-Ahlfors/dp/0070006571 Complex Analysis] | + | * '''[AHL1979]'''Lars Ahlfors, [http://www.amazon.com/Complex-Analysis-Lars-Ahlfors/dp/0070006571 Complex Analysis] , 3rd edition, McGraw-Hill, 1979 |
| − | ** 7.3. | + | ** 7.3.4를 참고 |
2013년 8월 14일 (수) 05:05 판
개요
- \(\lambda(\tau)=k^2(\tau)\) 는 타원적분의 modulus라고 불리며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
- \(k(\tau)\)에 대해서는 타원적분의 singular value k 참조
- 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 \(j\)-불변량(타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant))에 그 자리를 내줌
- level 2 인 congruence 모듈라 군(modular group) \(\Gamma(2)\)에 대한 모듈라 함수가 됨\[\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}\]
세타함수와의 관계
\[k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\] \[\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}\]
- 푸리에 전개
$$ \lambda(\tau)=16 q - 128 q^2 + 704 q^3 - 3072 q^4 + 11488 q^5 - 38400 q^6, \quad q=e^{\pi i \tau} $$
바이어슈트라스 타원함수와의 관계
\[\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\]
- \(\tau=\omega_2/\omega_1\) 로 두면, 다음을 얻는다
\[\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}\] 여기서 \[e_1=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2),\quad e_2=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2),\quad e_3=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\]
- \(e_1,e_2,e_3,\infty\) 네 점의 교차비로 이해할 수 있음
- 사영기하학과 교차비 항목 참조
- \(z_4=\infty\) 인 경우
\[(z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}\]
모듈라군에 의한 변환
- 모듈라 군(modular group)에 의한 변환
- 생성원\[S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
- \(T: \tau \to \tau+1\)에 의한 변화\[\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \omega_1+\omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix}\]\[e_1'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1\]\[e_2'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3\]\[e_3'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2\]\[\lambda(\tau+1)=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}\]
- \(S: \tau \to -\frac{1}{\tau}\)에 의한 변화\[\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}\]\[e_1'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2\]\[e_2'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1\]\[e_3'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3\]\[\lambda(-\frac{1}{\tau})=\frac{e_3-e_1}{e_2-e_1}=1-\lambda(\tau)\]
- 따라서 모듈라 군(modular group)에 의해, 다음과 같은 값을 취할 수 있게 된다
\[ \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}}, 1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}\]
- 이러한 표현은 교차비(cross ratio)에서 등장함
- \(\Gamma/\Gamma(2)\)
타원 모듈라 j-함수와의 관계
\[j(\tau)=256\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2}\]
(증명) $k=e^{\frac{2 i \pi }{3}}$로 두고, 다음과 같은 함수를 생각하자. $$ (\lambda(\tau)+k)( {1\over\lambda(\tau)}+k)({1\over{1-\lambda(\tau)}}+k)( 1-\lambda(\tau)+k)( {\lambda(\tau)\over{\lambda(\tau)-1}}+k)( {{\lambda(\tau)-1}\over\lambda(\tau)}+k)=-\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2} $$ 모듈라군에 의한 변환에서 얻은 결과로 이 함수는 모듈라 군(modular group)에 의하여 불변임을 알 수 있다.
special values
\(\lambda(i\infty)=0\)
\(\lambda(0)=1\)
\(\lambda(1)=\infty\)
\(\lambda(\sqrt{-1})=\frac{1}{2}\)
\(\lambda(\frac {-1+\sqrt{-3}}{2}), \lambda(\frac {1+\sqrt{-3}}{2})\) 는 \(1-\lambda+\lambda^2=0\) 의 두 해
모듈라 다항식
- $P_n\bigl(16\lambda(n\tau),16\lambda(\tau)\bigr)=0$를 만족하는 다항식 $P_n(x,y)\in{\mathbb{
Z}}[x,y]$이 존재하며, 이 때 차수는 $x,y$ 각각에 대하여 $\Psi(n)=\prod_{p|n}(1+1/p)$로 주어진다
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
관련논문
- Mirokov, V. D. 2009. “On Some Properties of a Modular Polynomial for the Lambda Function.” Rossi\uı Skaya Akademiya Nauk. Matematicheskie Zametki 86 (2): 237–255. doi:http://dx.doi.org//10.1134/S0001434609070244.
관련도서
- [AHL1979]Lars Ahlfors, Complex Analysis , 3rd edition, McGraw-Hill, 1979
- 7.3.4를 참고