"판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)"의 두 판 사이의 차이

수학노트

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2013년 8월 27일 (화) 02:02 판

개요

복소타원곡선의 판별식으로부터 weight이 12인 모듈라 형식 $\Delta(\tau)$이 얻어짐
푸리에 전개 $\Delta(\tau)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n$로부터 얻어지는 계수 $\tau(n)$를 라마누잔의 타우 함수라 하며, 이는 많은 흥미로운 수론적 성질을 가짐

판별식 함수

타원곡선의 판별식

\(\tau\in \mathbb H\) 에 대응되는 타원곡선 \(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)\) 의 판별식은 다음과 주어짐.\[F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)\]
정의에 따라 \(F\)는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.
또한 cusp 형식이 됨.\[g_2(i\infty)=\frac{4\pi^4}{3}\], \(g_3(i\infty)=\frac{8\pi^6}{27}\) 이므로,\[F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0\]
이 함수의 \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개는\[g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)\] 로 주어짐.
\(g_2, g_3\)에 대해서는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) 항목을 참조

정의

\(\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots\) 를 discriminant 함수의 정의로 함.
\(\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\) 로 표현가능

모듈라 성질

위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨\[\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\]

무한곱 표현과 데데킨트 에타함수

데데킨트 에타함수\[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\] 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,\[\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\]

라마누잔의 타우 함수

discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,\[\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\]

라마누잔의 추측

서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\tau(mn)=\tau(m)\tau(n)\)
소수 $p$와 자연수 $r$에 대하여, \(\tau(p^{r + 1}) = \tau(p)\tau(p^r) - p^{11}\tau(p^{r - 1})\)
소수 $p$에 대하여 \(|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}\)

1917년 모델 (Mordell)이 처음 두 성질을 증명
1974년 Deligne이 Weil 추측을 증명함으로써 해결됨

Lehmer의 추측

모든 \(n\in \mathbb{N}\)에 대하여 \(\tau(n)\neq 0 \)이다
http://mathoverflow.net/questions/31058/the-vanishing-of-ramanujans-function-taun
미해결

메모

Hecke’s theory of Hecke operators
Serre’s theory of modular l-adic Galois representations
Ramanujan-Petersson Conjectures

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Rankin, R. A. 1986. “Fourier Coefficients of Cusp Forms.” Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100 (1): 5–29. doi:http://dx.doi.org/10.1017/S030500410006583X.

관련논문

Lehmer, D.H. The vanishing of Ramanujan’s τ(n), Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)
Mordell, L. J., On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions, Cambr. Phil. Soc. Proc. 19, 117-124 (1917)

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