헤케 연산자(Hecke operator)

개요

• 모듈라 형식의 공간에 작용하는 연산자
• 헤케 연산자의 고유 벡터가 되는 모듈라 형식의 푸리에 계수는 흥미로운 수론적 성질을 가진다

정의

• $\mathcal{M}_n$ : 행렬식이 $n$인 $2\times 2$ 정수 계수 행렬들의 집합
• $f\in M_{k}(\Gamma_1)$, 즉 weight $k$인 모듈라 형식,
• 자연수 $m$에 대하여, 헤케 연산자 $T_m$을 다음과 같이 정의

$$ T_m f(z) = m^{k-1}\sum_{\left(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\right)\in\Gamma\backslash \mathcal{M}_m}(cz+d)^{-k}f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) $$ 또는, $$ T_m f(z) = m^{k-1}\sum_{a,d>0, ad=m}\frac{1}{d^k}\sum_{b \pmod d} f\left(\frac{az+b}{d}\right)=m^{k-1}\sum_{a,d>0, ad=m}\frac{1}{d^k}\sum_{b=0}^{d-1} f\left(\frac{az+b}{d}\right) $$

• 푸리에 전개가 $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c(n) q^n$로 주어지면, $T_m f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \gamma_{m}(n) q^n$이라 할 때, 다음의 관계가 성립

$$ \gamma_{m}(n) = \sum_{r>0, r|(m,n)}r^{k-1}c(\frac{mn}{r^2}) \label{im} $$

• 가령 $\gamma_{m}(0)=c(0)\sigma_{2k-1}(m)$, $\gamma_{m}(1)=c(m)$

성질

• 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(T_{m}T_{n}=T_{n}T_{m}\)
• 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(T_{mn}=T_{m}T_{n} \label{ram1}\)
• 소수 $p$와 자연수 $r$에 대하여, \(T_{p^{r + 1}} = T_{p}T_{p^r} - p^{k-1}T_{p^{r - 1}} \label{ram2}\)

고유 형식

• weight $k>0$인 모듈라 형식 $f\neq 0$가 $\{T_n|n\in \mathbb{N}\}$의 공통 고유 벡터, 즉 적당한 $\lambda(m), m\in \mathbb{N}$에 대하여,

$$ T_mf=\lambda(m)f $$ 를 만족할 때, 이를 고유 형식이라 한다

• 고유 형식 $f$에 대한 푸리에 전개가 $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c(n) q^n$으로 주어지면,

$$ T_mf(z)=\gamma_m(0)+\gamma_m(1)q+\gamma_m(2)q^2+\cdots=\lambda(m)\left(c(0)+c(1) q^1+c(2)q^2+\cdots\right) $$ 이고 \ref{im}로부터 $\gamma_m(1)=c(m)=\lambda(m)c(1)$임을 알 수 있다

• 이 때, $c(1)=1$이면, 다음이 성립한다

1. 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(c(mn)=c(m)c(n) \)
2. 소수 $p$와 자연수 $r$에 대하여, \(c(p^{r + 1}) = c(p)c(p^r) - p^{k-1}c(p^{r - 1}) \)

예

• 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)

\[E_{2k}(\tau)=\frac{G_{2k}(\tau)}{2\zeta (2k)}= 1+\frac {2}{\zeta(1-2k)}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)\]

• 판별식 함수

\[\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\]

• 자연수의 약수의 합과 라마누잔 타우 함수가 왜 수론적 함수(산술함수, arithmetic function)인지를 이해할 수 있음

관련된 항목들

• 판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)
• 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
• 수론적 함수(산술함수, arithmetic function)