자연수의 약수의 합

수학노트
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개요

  • 자연수 <math>n</math>에 대하여, 1부터 n까지의 양의 정수 중에 <math>n</math>의 약수인 수의 합
  • <math>\sigma(n)</math> 으로 나타냄:<math>\sigma(n)=\sum_{d|n}d</math>
  • 더 일반적으로 <math>n</math>의 약수인 수의 <math>r</math>거듭제곱의 합도 정의 됨:<math>\sigma_r(n)=\sum_{d|n}d^r</math>
  • 곱셈에 대하여 좋은 성질을 가짐
  • 분할수에 대한 연구에서 자연스럽게 등장함
  • 모듈라 형식(modular forms)인 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)의 계수로 나타남

성질

  • 서로 소인 자연수 <math>m,n</math> 에 대하여, <math>\sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)</math>
  • 소수 <math>p</math> 에 대하여, <math>\sigma(p^{k}) = \frac{p^{k+1}-1}{p-1}</math>



점화식

(정리)

<math>\sigma(k)</math>은 다음 공식을 만족한다.

<math>k</math>가 오각수가 아닌 경우

<math>\sigma(k) =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots</math>

<math>k</math>가 오각수 즉 <math>k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}</math> 꼴로 주어진 경우

<math>\sigma(k) + (-1)^{j}k =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots</math>


(증명)

생성함수를 다음과 같이 두자.

<math>A(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n</math>

<math>\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mq^m}{1-q^m}=\sum_{m=1}^{\infty}{mq^m}(1+q^m+q^{2m}+\cdots)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)q^n</math> 이므로 <math>A(x)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mx^{m}}{1-x^{m}}</math>임을 알 수 있다.

이제 오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)를 활용하자.

<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}=\prod_{m=1}^\infty (1-x^m)</math>

위의 우변에 로그미분을 취한 다음 <math>-x</math>를 곱하면,

<math>-x\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mx^{m}}{1-x^{m}}=A(x)</math>

따라서

<math>A(x)f(x)=-xf'(x)</math>를 얻는다.

<math>A(x)f(x)=(\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n)(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)</math> 이므로

<math>x^k</math>의 계수는 <math>\sigma(k)-(\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots)</math> 로 주어진다.

한편,

<math>-xf'(x)=\sum_{j=-\infty}^\infty (-1)^{j+1}\frac{j(3j-1)}{2}x^{j(3j-1)/2}</math> ■


  • 오각수가 아닌 경우의 예
    • <math>\sigma(10)=18</math>
    • <math>\sigma(9) + \sigma(8)-\sigma(5)-\sigma(3)=13+15-6-4=18</math>
    • <math>\sigma(20)=42</math>
    • <math>\sigma(19) + \sigma(18)-\sigma(15)-\sigma(13)+\sigma(8)+\sigma(5)=20+39-24-14+15+6=42</math>
  • 오각수인 경우의 예
    • <math>\sigma(5)+5=6+5=11</math>
    • <math>\sigma(4) + \sigma(3)=7+4=11</math>
    • <math>\sigma(12)-12=28-12=16</math>
    • <math>\sigma(11) + \sigma(10)-\sigma(7)-\sigma(5)=12+18-8-6=16</math>
  • 분할수의 점화식과의 유사성을 눈여겨볼 것:<math>p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots</math>


20까지 자연수의 약수의 합 목록

  • <math>n</math>과 <math>\sigma(n)</math>의 값

1 1 2 3 3 4 4 7 5 6 6 12 7 8 8 15 9 13 10 18 11 12 12 28 13 14 14 24 15 24 16 31 17 18 18 39 19 20 20 42


해석학적 결과

  • Bachmann, <math>n\to \infty</math>일 때,
<math>

\sum_{j=1}^n \sigma(j)=\frac{\pi^2}{12}n^2+O(n\log n) </math>

  • Gronwall, <math>n\to \infty</math>일 때,
<math>

\limsup_{n\to \infty} \frac{\sigma(n)}{n \log \log n}=e^{\gamma} </math> 여기서 <math>\gamma</math>는 오일러상수, 감마

모든 자연수 <math>n\geq 5041</math>에 대하여

<math>

\sigma(n)< e^{\gamma} n \log \log n </math>


역사



메모

관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스




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  • [{'LOWER': 'divisor'}, {'LEMMA': 'function'}]
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