Q-초기하급수의 점근 급수

이 항목의 수학노트 원문주소

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==개요

• \(a>0,x>0,b\in\mathbb{R}\)라 두자
• z>0는 방정식 \(1-x=zx^{a}\) 의 해라 하자.
• 다음 근사식이 성립함 [McIntosh1995]
  \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^nq^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}} \exp (-\frac{1}{\log q}\{\operatorname{Li}_2(zx^{a})+\frac{a}{2}\log^2 x\})\) 또는
  

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^nq^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}} \exp (\frac{L(1-x)}{t})\)   이 때, \(q=e^{-t}\).

 

 

==예

• A=1/2 (3,5) minimal model
  \(\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}}} {(q;q)_n}\sim \frac{2}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}-\frac{t}{40})+o(t^5)\)
  \(\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}}} {(q;q)_n} \sim \frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}+\frac{t}{40})+o(t^5)\)
  

• A=1 (3,4) minimal model
  \(\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n^2/2}}{(q)_n}\sim \exp(\frac{\pi^2}{12t}-\frac{t}{48})\)
  \(2\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt{2}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\)
  \(\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\)
  
• A=2 (2,5) minimal model 로저스-라마누잔 항등식
  \(\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})+o(1)\)
  \(\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})+o(1)\)
  

 

 

 

==역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

==메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

==관련된 항목들

• 로저스 다이로그 함수 (Roger's dilogarithm)

 

 

==매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxODk1ZjBiYWEtYjMyOS00MDdmLTg1ZjItMTJhOTA0MzZmYmY5/edit
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation

• 매스매티카 파일 목록

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

 

==사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

==리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

==관련논문

• [McIntosh1995]Some Asymptotic Formulae for q-Hypergeometric Series Richard J. McIntosh, Journal of the London Mathematical Society 1995 51(1):120-136
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

==관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=