"다중 제타 값"의 두 판 사이의 차이

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* Zhao, Jianqiang. “Uniform Approach to Double Shuffle and Duality Relations of Various Q-Analogs of Multiple Zeta Values via Rota-Baxter Algebras.” arXiv:1412.8044 [math], December 27, 2014. http://arxiv.org/abs/1412.8044.
 
* Zhao, Jianqiang. “Uniform Approach to Double Shuffle and Duality Relations of Various Q-Analogs of Multiple Zeta Values via Rota-Baxter Algebras.” arXiv:1412.8044 [math], December 27, 2014. http://arxiv.org/abs/1412.8044.
 
* Blümlein, J., D. J. Broadhurst, and J. A. M. Vermaseren. ‘The Multiple Zeta Value Data Mine’. Computer Physics Communications 181, no. 3 (March 2010): 582–625. doi:10.1016/j.cpc.2009.11.007.
 
* Blümlein, J., D. J. Broadhurst, and J. A. M. Vermaseren. ‘The Multiple Zeta Value Data Mine’. Computer Physics Communications 181, no. 3 (March 2010): 582–625. doi:10.1016/j.cpc.2009.11.007.
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* Guo, Li, and Bin Zhang. ‘Renormalization of Multiple Zeta Values’. Journal of Algebra 319, no. 9 (1 May 2008): 3770–3809. doi:10.1016/j.jalgebra.2008.02.003.
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* Ihara, Kentaro, Masanobu Kaneko, and Don Zagier. ‘Derivation and Double Shuffle Relations for Multiple Zeta Values’. Compositio Mathematica 142, no. 02 (March 2006): 307–38. doi:10.1112/S0010437X0500182X.

2015년 5월 5일 (화) 21:20 판

개요

  • 리만제타함수의 다변수 일반화 $\zeta(s_1, \ldots, s_k)$
  • $s_i$ 가 양의 정수일 때, 오일러 합이라 불림
  • 정수론의 중요한 주제로 물리에서 산란 amplitude 등의 계산에서 등장


정의

  • 다중 제타 값을 다음과 같이 정의

\[ \zeta(s_1, \ldots, s_k) : = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \frac{1}{n_1^{s_1} \cdots n_k^{s_k}} = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \prod_{i=1}^k \frac{1}{n_i^{s_i}}, \!\]

  • $s_1, \ldots, s_k$가 정수일 때, $w=s_1+\cdots+s_k$를 weight, $k$를 depth로 부른다


이중 제타

  • 오일러의 공식

$$\zeta(2,1)=\zeta(3)$$


여러 가지 관계식

double shuffle

정리

$m,n>1$ 일 때, $$\zeta(m)\zeta(n)=\zeta(m,n)+\zeta(n,m)+\zeta(m+n)$$

증명

$$ \zeta(m)\zeta(n)=(\sum_{j}\frac{1}{j^{m}})(\sum_{k}\frac{1}{k^{n}})=\sum_{j>k}\frac{1}{j^mk^n}+\sum_{j=k}\frac{1}{j^mk^n}+\sum_{j<k}\frac{1}{j^mk^n} $$

오일러 분해 공식

  • $r,s>1$ 일 때,

$$\zeta(r)\zeta(s)=\sum_{a=0}^{s-1}\binom{a+r-1}{a}\zeta(r+a,s-a)+\sum_{a=0}^{r-1}\binom{a+s-1}{a}\zeta(s+a,r-a)$$


기타

  • 다음이 성립한다

$$ 2\zeta(n,1)=n \zeta(n+1)-\sum_{i=1}^{a-2}\zeta(n-i)\zeta(i+1) $$

  • 예

$$\zeta(2,1)=\zeta(3)$$ $$\zeta(4,1)=2\zeta(5)-\zeta(2)\zeta(3)$$


일차독립인 다중 제타 값의 공간

  • 주어진 무게를 갖는 다중 제타 값이 이루는 벡터 공간의 차원
  • $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$를 $a_n = a_{n-2} + a_{n-3}$, $a_0=1, a_1=a_2=0$.
  • 이를 파도반 수열이라 하자
  • 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, 351, 465, 616, 816, 1081, 1432, 1897
  • Zagier conjectures that a(n+3) is the maximum number of multiple zeta values of weight n > 1 which are linearly independent over the rationals.

테이블

추측

주어진 무게 $s$의 다중 제타 값으로 생성되는 $\mathbb{Q}$-벡터 공간은 다음과 같은 기저를 갖는다 \begin{array}{c|c} s & \\ \hline 2 & \zeta_2 \\ 3 & \zeta_3 \\ 4 & \zeta_2^2 \\ 5 & \zeta_5,\zeta_2 \zeta_3 \\ 6 & \zeta_3^2,\zeta_2^3 \\ 7 & \zeta_7,\zeta_2 \zeta_5,\zeta_2^2 \zeta_3 \\ 8 & \zeta_{5,3},\zeta_3 \zeta_5,\zeta_2 \zeta_3^2,\zeta_2^4 \\ 9 & \zeta_9,\zeta_2 \zeta_7,\zeta_2^2 \zeta_5,\zeta_3^3,\zeta_2^3 \zeta_3 \\ 10 & \zeta_{7,3},\zeta_2 \zeta_{5,3},\zeta_3 \zeta_7,\zeta_5^2,\zeta_2 \zeta_3 \zeta_5,\zeta_2^2 \zeta_3^2,\zeta_2^5 \\ \end{array}

메모


관련된 항목들


계산 리소스

사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Kaneko, Masanobu, and Mika Sakata. ‘On Multiple Zeta Values of Extremal Height’. arXiv:1505.01014 [math], 5 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.01014.
  • Zudilin, Wadim. ‘On a Family of Polynomials Related to $\zeta(2,1)=\zeta(3)$’. arXiv:1504.07696 [math-Ph], 28 April 2015. http://arxiv.org/abs/1504.07696.
  • Furusho, Hidekazu. “On Relations among Multiple Zeta Values Obtained in Knot Theory.” arXiv:1501.06638 [math], January 26, 2015. http://arxiv.org/abs/1501.06638.
  • Brown, Francis. “Multiple Modular Values for SL_2(Z).” arXiv:1407.5167 [math], July 19, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.5167.
  • Zhao, Jianqiang. “Uniform Approach to Double Shuffle and Duality Relations of Various Q-Analogs of Multiple Zeta Values via Rota-Baxter Algebras.” arXiv:1412.8044 [math], December 27, 2014. http://arxiv.org/abs/1412.8044.
  • Blümlein, J., D. J. Broadhurst, and J. A. M. Vermaseren. ‘The Multiple Zeta Value Data Mine’. Computer Physics Communications 181, no. 3 (March 2010): 582–625. doi:10.1016/j.cpc.2009.11.007.
  • Guo, Li, and Bin Zhang. ‘Renormalization of Multiple Zeta Values’. Journal of Algebra 319, no. 9 (1 May 2008): 3770–3809. doi:10.1016/j.jalgebra.2008.02.003.
  • Ihara, Kentaro, Masanobu Kaneko, and Don Zagier. ‘Derivation and Double Shuffle Relations for Multiple Zeta Values’. Compositio Mathematica 142, no. 02 (March 2006): 307–38. doi:10.1112/S0010437X0500182X.
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