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2015년 6월 17일 (수) 02:07 판

개요

singular moduli의 대각합

정의

$$ \mathbf{t}(d):=\sum_{Q\in \mathcal{Q}_d/\Gamma} \frac{1}{w_Q}J(\alpha_Q) $$ 여기서

  • $\mathcal{Q}_d$는 $-d=b^2-4ac$를 만족하는 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) $Q=[a,b,c]=ax^2+bxy+cy^2$의 집합
  • 모듈라군 $\Gamma=PSL(2,\mathbb{Z})$은 $\mathcal{Q}_d$에 작용
  • 각각의 $Q$에 대하여, 자기동형군 $\Gamma_{Q}$을 생각, $w_{Q}=|\Gamma_{Q}|$
    • $w_Q=2$ if $Q\sim [a,0,a]$
    • $w_Q=3$ if $Q\sim [a,a,a]$
    • 다른 경우 $w_Q=1$
  • 예

\(\mathbf{t}(3)=-248\\ \mathbf{t}(4)=492\\ \mathbf{t}(12)=53008\\ \mathbf{t}(15)=-192513\)


생성함수

  • weight이 3/2인 모듈라 형식 $g_1$을 생각하자

\[g_1(z)=\theta_1(\tau)\frac{E_4(4\tau)}{\eta(4\tau)^6}=q^{-1}-2+248q^3-492q^4+4119q^7-7256q^8+\cdots\] 이 때 \[\theta_{1}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2}\] \[E_4(\tau)= 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n}\] \[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\]

  • \(B(d)\)를 \(g_1(z)\)의 $q^d$항에 대한 계수로 정의

\[g_1(z)=\sum_{d \geq -1} B(d)q^d\]


정리 (Zagier)

다음이 성립한다 \[\mathbf{t}(d)=-B(d)\]


메모

  • Kaneko, M., The Fourier coefficients and the singular moduli of the elliptic modular function j(τ), Mem. Fac.Eng. Design, Kyoto Inst. Tech. 19 (1996), 1–5.
  • Kaneko, M., Traces of singular moduli and the Fourier coefficients of the elliptic modular function j(τ), CRM Proceedings and Lecture Notes 19 (1999), 173–176.
  • Goro Shimura established in his series of works the general principle that, the “arithmeticity” of modular forms (in far general setting) induced from the algebraicity of Fourier coefficients, and the one induced from the algebraicity of values at CM (complex multiplication) points, are equivalent.


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