후르비츠-크로네커 유수

수학노트
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개요

  • \(\mathcal{Q}_d\)는 \(-d=b^2-4ac\)를 만족하는 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) \(Q=[a,b,c]=ax^2+bxy+cy^2\)의 집합
  • 모듈라군 \(\Gamma=PSL(2,\mathbb{Z})\)은 \(\mathcal{Q}_d\)에 작용
  • 각각의 \(Q\)에 대하여, 자기동형군 \(\Gamma_{Q}\)을 생각, \(w_{Q}=|\Gamma_{Q}|\)
    • \(w_Q=2\) if \(Q\sim [a,0,a]\)
    • \(w_Q=3\) if \(Q\sim [a,a,a]\)
    • 다른 경우 \(w_Q=1\)
  • 후르비츠-크로네커 수를 다음과 같이 정의

\[H(d):=\sum_{Q\in \mathcal{Q}_d/\Gamma} \frac{1}{w_Q}\]

예

\(d=3\)

  • \(Q=x^2+xy+y^2\), \(w_Q=3\)
  • \(H(3)=\frac{1}{3}\)

\(d=4\)

  • \(Q=x^2+y^2\), \(w_Q=2\)
  • \(H(4)=\frac{1}{2}\)

\(d=12\)

  • \(Q=3x^2+y^2\),\(w_Q=1\)
  • \(Q=2x^2+2xy+2y^2\), \(w_Q=3\)
  • \(H(12)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\)

\(d=15\)

  • \(Q=x^2+xy+4y^2\), \(w_Q=1\)
  • \(Q=2x^2+xy+2y^2\), \(w_Q=1\)
  • \(H(15)=2\)

생성함수

  • 다음과 같이 생성함수를 정의하자

\[ \mathcal{H}_1(\tau):=\sum_{n=0}^{\infty}H(n)q^n,\, q=e^{2\pi i n} \]

  • \(\mathcal{H}_1\)에 적당한 항을 더하여, weight \(3/2\)인 비해석적 모듈라 형식(non-holomorphic modular form) \(F\)를 얻을 수 있다

\[F(\tau): = \mathcal{H}_1(\tau) + \frac{1}{16\pi\sqrt{y}}\sum_{n\in Z}\beta(4\pi n^2y)q^{-n^2}\] 여기서 \[\displaystyle \beta(t) = \int_t^\infty u^{-3/2} e^{-ut} \,du=t^{1/2}\int_t^\infty v^{-3/2} e^{-v} \,dv\]

  • 이는 유사 모듈라 형식(mock modular form)의 이론에서 \(\Gamma_0(4)\)에 대한 weight 3/2 harmonic weak Maass 형식의 예이다
정리 (Zagier, 1975)

\( \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)\in \Gamma_0(4)\), \(\tau\in \mathbb{H}\)에 대하여, 다음이 성립한다 \[ F \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = \left(\frac{c}{d}\right) \left(\frac{-1}{d}\right)^{1/2}(c\tau +d)^{3/2} F(\tau) \]

테이블

\begin{array}{c|ccccccccccccccccccccccccc} d & 0 & 3 & 4 & 7 & 8 & 11 & 12 & 15 & 16 & 19 & 20 & 23 & 24 & 27 & 28 & 31 & 32 & 35 & 36 & 39 & 40 & 43 & 44 & 47 & 48 \\ \hline 12 H(d) & -1 & 4 & 6 & 12 & 12 & 12 & 16 & 24 & 18 & 12 & 24 & 36 & 24 & 16 & 24 & 36 & 36 & 24 & 30 & 48 & 24 & 12 & 48 & 60 & 40 \\ \end{array}


관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스


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