"Singular moduli의 대각합 (traces of singular moduli)"의 두 판 사이의 차이

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** $w_Q=3$ if $Q\sim [a,a,a]$
 
** $w_Q=3$ if $Q\sim [a,a,a]$
 
** 다른 경우 $w_Q=1$
 
** 다른 경우 $w_Q=1$
−
* 예
+
* $J$는 [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]]
−
<math>\mathbf{t}(3)=-248\\
+
* $\alpha_Q\in \mathbb{C}$는 허수부가 양수인 $ax^2+bx+c=0$의 해
−
\mathbf{t}(4)=492\\
 
−
\mathbf{t}(12)=53008\\
 
−
\mathbf{t}(15)=-192513</math>
 
−
 
 
  
 
==생성함수==
 
==생성함수==

2015년 6월 17일 (수) 02:15 판

개요

singular moduli의 대각합

정의

$$ \mathbf{t}(d):=\sum_{Q\in \mathcal{Q}_d/\Gamma} \frac{1}{w_Q}J(\alpha_Q) $$ 여기서

생성함수

  • weight이 3/2인 모듈라 형식 $g_1$을 생각하자

\[g_1(z)=\theta_1(\tau)\frac{E_4(4\tau)}{\eta(4\tau)^6}=q^{-1}-2+248q^3-492q^4+4119q^7-7256q^8+\cdots\] 이 때 \[\theta_{1}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2}\] \[E_4(\tau)= 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n}\] \[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\]

  • \(B(d)\)를 \(g_1(z)\)의 $q^d$항에 대한 계수로 정의

\[g_1(z)=\sum_{d \geq -1} B(d)q^d\]


정리 (Zagier)

다음이 성립한다 \[\mathbf{t}(d)=-B(d)\]


메모

  • Kaneko, M., The Fourier coefficients and the singular moduli of the elliptic modular function j(τ), Mem. Fac.Eng. Design, Kyoto Inst. Tech. 19 (1996), 1–5.
  • Kaneko, M., Traces of singular moduli and the Fourier coefficients of the elliptic modular function j(τ), CRM Proceedings and Lecture Notes 19 (1999), 173–176.
  • Goro Shimura established in his series of works the general principle that, the “arithmeticity” of modular forms (in far general setting) induced from the algebraicity of Fourier coefficients, and the one induced from the algebraicity of values at CM (complex multiplication) points, are equivalent.


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