"구면삼각형"의 두 판 사이의 차이
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세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이는 <math>A+B+C-\pi</math> 이다 | 세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이는 <math>A+B+C-\pi</math> 이다 | ||
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| + | 그러면 위에처럼 회색으로 칠한 손톱모양이 세개 얻어진다. | ||
| − | '''이 손톱모양 세개는 정확히 구면의 절반을 덮고 | + | '''관찰 : 이 손톱모양 세개는 정확히 구면의 절반을 덮고 있다.''' |
| − | + | 세개의 손톱모양 각각의 넓이는 위에서 본대로 2A,2B,2C이다. | |
| + | 따라서 2A+2B+2C - (구면삼각형 ABC의 넓이 x 2 ) = <math>2\pi</math> (= 구면의 절반의 넓이) | ||
| + | 그러므로 구면삼각형 ABC의 넓이는 <math>A+B+C-\pi</math>. ■ | ||
==삼각형의 세 각의 합== | ==삼각형의 세 각의 합== | ||
2015년 8월 22일 (토) 05:24 판
개요
- 구면의 측지선을 세 변으로 하는 삼각형
- 구면삼각형의 변의 길이와 각도의 관계에 대해서는 구면삼각법 항목 참조
구면삼각형의 넓이
- 편의를 위해 앞으로 구의 반지름은 1이라고 두자
손톱모양의 넓이
- 북극과 남극을 잇는 두 개의 대원이 이루는 손톱모양의 넓이는, 그 둘 사이의 각도 $\theta$에 의해 결정되고, 그 넓이는 \(2\theta\)
- 넓이가 각도에 비례한다는 사실과, 반지름이 1인 구면의 넓이는 \(4\pi\)라는 사실을 이용
구면삼각형의 넓이 공식
- (정리)
세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이는 \(A+B+C-\pi\) 이다
- (증명)
위의 그림처럼, 구면삼각형의 한 꼭지점에서 반대편 극에 마주보고 있는 점까지 대원을 잇는다.
그러면 위에처럼 회색으로 칠한 손톱모양이 세개 얻어진다.
관찰 : 이 손톱모양 세개는 정확히 구면의 절반을 덮고 있다.
세개의 손톱모양 각각의 넓이는 위에서 본대로 2A,2B,2C이다.
따라서 2A+2B+2C - (구면삼각형 ABC의 넓이 x 2 ) = \(2\pi\) (= 구면의 절반의 넓이)
그러므로 구면삼각형 ABC의 넓이는 \(A+B+C-\pi\). ■
삼각형의 세 각의 합
- 면적은 언제나 양수이므로, 구면삼각형의 세 각의 합은 180도보다 크다!
매스매티카 파일 및 계산 리소스
블로그
- 구면삼각형의 넓이에 대한 Girard-Harriot의 정리, 피타고라스의 창