구면삼각형

개요

북극과 남극을 잇는 두 개의 대원이 이루는 손톱모양의 넓이는, 그 둘 사이의 각도 \(\theta\)에 의해 결정되고, 그 넓이는 \(2\theta\)
넓이가 각도에 비례한다는 사실과, 반지름이 1인 구면의 넓이는 \(4\pi\)라는 사실을 이용

세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이는 \(A+B+C-\pi\) 이다

위의 그림처럼, 구면삼각형의 한 꼭지점에서 반대편 극에 마주보고 있는 점까지 대원을 잇는다.

그러면 위에처럼 회색으로 칠한 손톱모양이 세개 얻어진다.

관찰 : 이 손톱모양 세개는 정확히 구면의 절반을 덮고 있다.

세개의 손톱모양 각각의 넓이는 위에서 본대로 2A,2B,2C이다.

따라서 2A+2B+2C - (구면삼각형 ABC의 넓이 x 2 ) = \(2\pi\) (= 구면의 절반의 넓이)

그러므로 구면삼각형 ABC의 넓이는 \(A+B+C-\pi\). ■