"로저스 다이로그 함수 (Rogers dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이

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==관련논문==
 
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* Tomoki Nakanishi, Rogers dilogarithms of higher degree and generalized cluster algebras, arXiv:1605.04777 [math.QA], May 16 2016, http://arxiv.org/abs/1605.04777
 
* Hartnick, Tobias, and Andreas Ott. “Perturbations of the Spence-Abel Equation and Deformations of the Dilogarithm Function.” arXiv:1601.07109 [math], January 26, 2016. http://arxiv.org/abs/1601.07109.
 
* Hartnick, Tobias, and Andreas Ott. “Perturbations of the Spence-Abel Equation and Deformations of the Dilogarithm Function.” arXiv:1601.07109 [math], January 26, 2016. http://arxiv.org/abs/1601.07109.
 
* [http://dx.doi.org/10.1023/A:1009709927327 Algebraic Dilogarithm Identities]
 
* [http://dx.doi.org/10.1023/A:1009709927327 Algebraic Dilogarithm Identities]

2016년 5월 18일 (수) 00:14 기준 최신판

개요


정의

  • \(x\in (0,1)\)에서 로저스 다이로그 함수를 다음과 같이 정의

\[L(x)=\operatorname{Li}_ 2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\left(\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(y)}{1-y}\right)dy\]

  • \((-\infty,0],[1,+\infty)\)를 제외한 복소평면으로 해석적확장됨
  • \(dL(y)=\frac{1}{2}[\log(y)d\log (1-y)-\log(1-y)d\log (y)]\)


함수의 그래프

  • \(x\in (0,1)\) 에서의 그래프

로저스 다이로그 함수 (Roger s dilogarithm)1.gif

  • 함수 방정식을 이용한 확장

로저스 다이로그 함수 (Roger s dilogarithm)2.gif

반사공식(오일러)

  • \(0\leq x \leq 1\) 일 때\[L(x)+L(1-x)=L(1)\]



5항 관계식

  • \(0\leq x,y\leq 1\) 일 때, \[L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\left( \frac{1-x}{1-xy}\right)=\frac{\pi^2}{2}\]


special values

\(L(0)=0\)

\(L(1)=\frac{\pi^2}{6}\)

\(L(-1)=-\frac{\pi^2}{12}\)

\(L(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}\)

\(L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}\)

\(L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}\)

  • non-unitary \(c(2,k+2)\) minimal models

\[\sum_{i=1}^{[k/2]}L\left(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}}\right)=\frac{k-1}{k+2}\cdot \frac{\pi^2}{6}\]


역사



메모

관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스




사전 형태의 자료



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