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==개요==
  
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*  점화식으로 정의되는 정수수열
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* <math>a_{n+4}a_{n} = a_{n+3} a_{n+1} + a_{n+2}^2</math>
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*  초기조건이 <math>a_1=a_2=a_3=a_4=1</math> 인 경우
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*  1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, 126742987, 1687054711, 47301104551, 1123424582771, 32606721084786
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==로랑현상==
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*  초기조건이 <math>a_1=x,a_2=y,a_3=z,a_4=w</math> 인 경우:<math>x,y,z,w,\frac{w y+z^2}{x},\frac{w^2 x+w y z+z^3}{x y},\frac{y(wy+z^2)^2+w x (w^2 x+w y z+z^3)}{x^2 y z}</math>
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*  점화식에서 얻어지는 항들이 모두 <math>\mathbb{Z}[x^{\pm},y^{\pm},z^{\pm},w^{\pm}]</math>의 원소, 즉 로랑 다항식이며, 이를 로랑현상(Laurent phenomenon) 이라 한다 '''[FZ2001]'''
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*  로랑현상에 의해 초기조건 <math>a_1=a_2=a_3=a_4=1</math>의 경우, 정수수열이 됨을 알 수 있다
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==타원곡선 <math>y^2=4 x^3-4 x+1</math>==
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*  타원곡선 <math>y^2=4 x^3-4 x+1</math>
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*  점 <math>P=(1,1)</math>과 <math>Q=(0,1)</math>은 타원곡선 위에 놓여 있다.
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*  점 P+n Q 의 좌표를 구하면, 좌표의 분모로부터 소모스 수열을 얻을 수 있다
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==역사==
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*  QRT I (Quispel, Roberts, Thompson):<math>a_{n+4}a_{n} = \delta^2a_{n+3} a_{n+1} -\delta a_{n+1}^2</math>
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* M. Gaudin "La fonction d'onde de Bethe" (1983)
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* periodicity => Boltzman weights for hard hexagon model
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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* The density of primes <math>p\in \mathbb{Z}</math> dividing at least one term of this sequence is <math>11/21</math>
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* Jones, Rafe, and Jeremy Rouse. “Galois Theory of Iterated Endomorphisms.” Proceedings of the London Mathematical Society 100, no. 3 (May 1, 2010): 763–94. doi:10.1112/plms/pdp051.
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==관련된 항목들==
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* [[바이어슈트라스 시그마 함수]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxOTcyN2RkMGUtMWU1NC00ZTkzLTk0OTgtMTMwODA2MjBlMjVh&sort=name&layout=list&num=50
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
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** http://oeis.org/A006720
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** http://oeis.org/A006769
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==관련논문==
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* Van der Kamp, Peter H. ‘Somos-4 and Somos-5 Are Arithmetic Divisibility Sequences’. arXiv:1505.00194 [math], 1 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.00194.
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* Yura, Fumitaka. “Hankel Determinant Solution for Elliptic Sequence.” arXiv:1411.6972 [math-Ph, Physics:nlin], November 25, 2014. http://arxiv.org/abs/1411.6972.
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* Hone, A. N. W. 2005. Elliptic Curves and Quadratic Recurrence Sequences. Bulletin of the London Mathematical Society 37, no. 2 (April 1): 161 -171. doi:[http://dx.doi.org/10.1112/S0024609304004163 10.1112/S0024609304004163].
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* Swart, Christine, and Andrew Hone. 2005. Integrality and the Laurent phenomenon for Somos 4 sequences. math/0508094 (August 4). http://arxiv.org/abs/math/0508094
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* '''[FZ2001]'''Fomin, Sergey, and Andrei Zelevinsky. 2001. The Laurent phenomenon. math/0104241 (April 25). http://arxiv.org/abs/math/0104241.
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[[분류:수열]]

2020년 11월 12일 (목) 07:25 기준 최신판

개요

  • 점화식으로 정의되는 정수수열
  • \(a_{n+4}a_{n} = a_{n+3} a_{n+1} + a_{n+2}^2\)
  • 초기조건이 \(a_1=a_2=a_3=a_4=1\) 인 경우
  • 1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, 126742987, 1687054711, 47301104551, 1123424582771, 32606721084786

로랑현상

  • 초기조건이 \(a_1=x,a_2=y,a_3=z,a_4=w\) 인 경우\[x,y,z,w,\frac{w y+z^2}{x},\frac{w^2 x+w y z+z^3}{x y},\frac{y(wy+z^2)^2+w x (w^2 x+w y z+z^3)}{x^2 y z}\]
  • 점화식에서 얻어지는 항들이 모두 \(\mathbb{Z}[x^{\pm},y^{\pm},z^{\pm},w^{\pm}]\)의 원소, 즉 로랑 다항식이며, 이를 로랑현상(Laurent phenomenon) 이라 한다 [FZ2001]
  • 로랑현상에 의해 초기조건 \(a_1=a_2=a_3=a_4=1\)의 경우, 정수수열이 됨을 알 수 있다



타원곡선 \(y^2=4 x^3-4 x+1\)

  • 타원곡선 \(y^2=4 x^3-4 x+1\)
  • 점 \(P=(1,1)\)과 \(Q=(0,1)\)은 타원곡선 위에 놓여 있다.
  • 점 P+n Q 의 좌표를 구하면, 좌표의 분모로부터 소모스 수열을 얻을 수 있다




역사



메모

  • The density of primes \(p\in \mathbb{Z}\) dividing at least one term of this sequence is \(11/21\)
  • Jones, Rafe, and Jeremy Rouse. “Galois Theory of Iterated Endomorphisms.” Proceedings of the London Mathematical Society 100, no. 3 (May 1, 2010): 763–94. doi:10.1112/plms/pdp051.

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

  • Van der Kamp, Peter H. ‘Somos-4 and Somos-5 Are Arithmetic Divisibility Sequences’. arXiv:1505.00194 [math], 1 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.00194.
  • Yura, Fumitaka. “Hankel Determinant Solution for Elliptic Sequence.” arXiv:1411.6972 [math-Ph, Physics:nlin], November 25, 2014. http://arxiv.org/abs/1411.6972.
  • Hone, A. N. W. 2005. Elliptic Curves and Quadratic Recurrence Sequences. Bulletin of the London Mathematical Society 37, no. 2 (April 1): 161 -171. doi:10.1112/S0024609304004163.
  • Swart, Christine, and Andrew Hone. 2005. Integrality and the Laurent phenomenon for Somos 4 sequences. math/0508094 (August 4). http://arxiv.org/abs/math/0508094
  • [FZ2001]Fomin, Sergey, and Andrei Zelevinsky. 2001. The Laurent phenomenon. math/0104241 (April 25). http://arxiv.org/abs/math/0104241.
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