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* <math>\Box + m^2=\frac{\partial^2}{\partial t^2 } - \nabla^2 +m^2</math> | * <math>\Box + m^2=\frac{\partial^2}{\partial t^2 } - \nabla^2 +m^2</math> | ||
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* wave number k 에 대하여, <math>E=k_0=\omega_k</math>, <math>\vec{p}=\vec{k}</math> 로 두자 | * wave number k 에 대하여, <math>E=k_0=\omega_k</math>, <math>\vec{p}=\vec{k}</math> 로 두자 | ||
* real 스칼라 장에 대한 클라인-고든 방정식의 일반적인 푸리에 급수해는 다음과 같이 주어진다 | * real 스칼라 장에 대한 클라인-고든 방정식의 일반적인 푸리에 급수해는 다음과 같이 주어진다 | ||
| − | :<math>\varphi(x)=\int\frac{d^3 \vec{k}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{k}}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}+a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]</math | + | :<math>\varphi(x)=\int\frac{d^3 \vec{k}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{k}}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}+a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]</math> |
** 양자화 이후에 <math>a(\vec{k})</math>는 annihilation operator, <math>a^{\dagger}(\vec{k})</math>는 creation operator 로 불린다 | ** 양자화 이후에 <math>a(\vec{k})</math>는 annihilation operator, <math>a^{\dagger}(\vec{k})</math>는 creation operator 로 불린다 | ||
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==역사== | ==역사== | ||
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** negative energy states 의 존재 | ** negative energy states 의 존재 | ||
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2020년 11월 12일 (목) 08:13 판
개요
- 슈뢰딩거 방정식 의 상대론적 일반화의 시도로부터 얻어짐
- 스핀-0 입자의 스칼라 장에 대한 방정식
- real
- complex - charged spin zero particles
- 특수 상대성 이론의 관계식 \(E^2=p^2+m^2\) 로부터 얻을 수 있다
- \(\Box + m^2=\frac{\partial^2}{\partial t^2 } - \nabla^2 +m^2\)
- \((\Box + m^2) \varphi = 0\)
- \((\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}+m^2\varphi=0\)
- \((\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}-\varphi_{yy}-\varphi_{zz}+m^2\varphi=0\)
오일러-라그랑지 방정식
- 라그랑지안 \(\mathcal{L}(\varphi) = \frac{1}{2}\{\partial_{\mu}\partial^{\mu}\varphi - m^2\varphi^2\}\) 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식\[\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \varphi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} = 0\] 을 적용하여 얻어진다
free particle solution
- \(\varphi(t,\vec{x})=Ae^{-i(E t-\vec{p}\cdot \vec{x})}\) 이 해가 되려면 \(E^2=m^2+\vec{P}^2\) 을 만족해야 한다
푸리에 급수해
- wave number k 에 대하여, \(E=k_0=\omega_k\), \(\vec{p}=\vec{k}\) 로 두자
- real 스칼라 장에 대한 클라인-고든 방정식의 일반적인 푸리에 급수해는 다음과 같이 주어진다
\[\varphi(x)=\int\frac{d^3 \vec{k}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{k}}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}+a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]\]
- 양자화 이후에 \(a(\vec{k})\)는 annihilation operator, \(a^{\dagger}(\vec{k})\)는 creation operator 로 불린다
- conjugate momentum
\[\pi(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_{0} \varphi )} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} \] \[\pi(x)=\partial_{0}\varphi(x)=-i\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}}\sqrt{\frac{\omega_{k}}{2}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}-a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}] \]
양자화
- equal time commutation relations
- \([\hat \varphi(x),\hat{\pi}(y)] =i\delta(\vec{x}-\vec{y})\)
- \([\hat \varphi(x),\hat{\varphi}(y)] =0\)
- \([\hat \pi(x),\hat{\pi}(y)] =0\)
역사
- 클라인-고든 방정식의 해를 양자역학에서의 상대론적 파동함수로 해석할 때의 두 가지 문제점
- negative energy states 의 존재
- negative probability density
- 파동함수가 아닌 장 방정식으로 해석할 때 문제점이 사라진다
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
- 수학사 연표
메모
- Dattoli, G., E. Sabia, K. Górska, A. Horzela, and K. A. Penson. “Relativistic Wave Equations: An Operational Approach.” arXiv:1502.00446 [math-Ph, Physics:quant-Ph], February 2, 2015. http://arxiv.org/abs/1502.00446.
- http://cc.oulu.fi/~tf/tiedostot/pub/kvmIII/english/2004/20_klein.pdf
- http://physics-quest.org/Book_Chapter_Klein_Gordon.pdf
- http://fias.uni-frankfurt.de/~brat/LecturesWS1011/Lecture8.pdf
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Klein-Gordon_equation
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트