"감마함수의 비와 라마누잔의 연분수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
24번째 줄: 24번째 줄:
 
<math>\frac{\Gamma(\frac{1}{4})\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{2}{4})\Gamma(\frac{2}{4})}=\sqrt{2}</math>
 
<math>\frac{\Gamma(\frac{1}{4})\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{2}{4})\Gamma(\frac{2}{4})}=\sqrt{2}</math>
  
−
 
+
* [[월리스 곱 (Wallis product formula)]]<br><math>\prod_{k=1}^{\infty}{\frac{4k^2-1}{4k^2}=\frac{2}{\pi}</math><br>
−
 
 
−
 
 
  
 
 
 
 
32번째 줄: 30번째 줄:
 
<h5>역사</h5>
 
<h5>역사</h5>
  
−
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
 
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
  

2012년 8월 25일 (토) 13:26 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 감마함수의 비를 다음과 같이 연분수로 표현가능
    \(\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4} (-n+x+1)\right) \Gamma \left(\frac{1}{4} (n+x+1)\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{4} (-n+x+3)\right) \Gamma \left(\frac{1}{4} (n+x+3)\right)}=\cfrac{4}{x-\cfrac{n^2-1}{2 x-\cfrac{n^2-9}{2 x-\cfrac{n^2-25}{2 x-\cfrac{n^2-49}{2 x-\cfrac{n^2-81}{2 x-\cfrac{n^2-121}{2 x-\cfrac{n^2-169}{2 x-\cfrac{n^2-225}{2 x-\cfrac{n^2-289}{2 x-\cdots}}}}}}}}}}\)
  • \(n=0, x=1\) 인 경우, 원주율과 연분수 Brouncker 의 공식 을 얻는다
    \(\frac \pi 4 = \cfrac{1}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\cfrac{9^2}{2+\ddots}}}}}}\)

 

 

감마함수와 무한곱
  • 감마함수
    \(\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} \)

\(1+{q \over 1+q + } {q^2 \over 1+q^2+} {q^3 \over 1+q^3} } \cdots=\frac{(q^2;q^4)_{\infty}^2}{(q^1;q^4)_{\infty}(q^3;q^4)_{\infty}}\) 로부터

\(\frac{\Gamma(\frac{1}{4})\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{2}{4})\Gamma(\frac{2}{4})}=\sqrt{2}\)

 

역사

 

 

메모

[Alladi&Gordon1993] 277-278p

Partition identities and a continued fraction of Ramanujan

\(R(a,b)=\frac{f(a,a^{-1}b)}{f(aq,a^{-1}b)}-a=\frac{R^{N}(a,b)}{R^{D}(a,b)}=1+\frac{bq}{1+aq} {\ \atop+} \frac{bq^2}{1+aq^2}{\ \atop+} \frac{bq^3}{1} {\ \atop+\dots}\)

\(R(1,1)=\frac{R^{N}(1,1)}{R^{D}(1,1)}=1+{q \over 1+q + } {q^2 \over 1+q^2+} {q^3 \over 1+q^3} } \cdots=\frac{(q^2;q^4)_{\infty}^2}{(q^1;q^4)_{\infty}(q^3;q^4)_{\infty}}\)

 

 

관련된 항목들

 

 

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

 

관련도서
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=감마함수의_비와_라마누잔의_연분수&oldid=3946"