공대수 (coalgebra)

개요

• 대수(algebra) 의 쌍대
• special function 의 이론에서 얻어지는 덧셈공식을 이해하기 위한 틀
• 호프 대수(Hopf algebra)가 갖는 구조의 하나

정의

• k : ring
• k-module C에 정의된 comultiplication \(\mu : C \to C \otimes C\)과 counit \(\epsilon : C\to k\) 이 다음을 만족시킬 때, 공대수(coalgebra) 라 한다

\[(\operatorname{id}\otimes \mu) \circ \mu = (\mu \otimes \operatorname{id})\circ \mu\] \[(\operatorname{id}\otimes \epsilon) \circ \mu =\operatorname{id}, (\epsilon \otimes \operatorname{id}) \circ \mu=\operatorname{id}\]

삼각함수의 덧셈공식과 공대수

• 사인과 코사인 함수의 덧셈공식

\[\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \] \[\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\]

• 공대수 구조
  • \( \{s,c\} \) 를 기저로 갖는 벡터공간에 다음과 같은 comultiplication 과 counit 을 정의

\[\mu(s)=s\otimes c+c\otimes s, \mu(c)=c\otimes c-s\otimes s\] \[\epsilon(s)=0,\epsilon(c)=1\]

• 공리의 확인

\[ \begin{aligned} (\operatorname{id}\otimes \mu) \circ \mu(s) & = (\operatorname{id}\otimes \mu)(c\otimes s+s\otimes c)\\ {}& =c\otimes (c\otimes s+s\otimes c)+s\otimes (c\otimes c-s\otimes s) \\ {}& =c\otimes c\otimes s+c\otimes s\otimes c + s\otimes c\otimes c- s\otimes s\otimes s \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} (\mu \otimes \operatorname{id}) \circ \mu(s) & = (\mu \otimes \operatorname{id})(c\otimes s+s\otimes c)\\ {}& =(c\otimes c-s\otimes s)\otimes s + (c\otimes s+s\otimes c)\otimes c \\ {}& =c\otimes c \otimes s-s\otimes s\otimes s + c\otimes s \otimes c+s\otimes c \otimes c \end{aligned} \]

• 마찬가지 방법으로 \((\operatorname{id}\otimes \mu) \circ \mu(c)=(\mu \otimes \operatorname{id}) \circ \mu(c)\) 임을 보일 수 있다

군론과 special functions

• 군 G의 유한차원 표현 \( \rho : G \to V \)가 주어진 경우
• V의 적당한 기저를 선택하여, 행렬 \((\rho_{i,j}(g))\) 를 얻는다
• \(\rho_{i,j}\) 는 G에 정의된 함수들로 이루어진 유한차원 벡터공간 \(C_{\rho}\) 를 span 한다
• \(g,h\in G\)에 대하여, \(\rho_{i,j}(gh)=\sum_{t=1}^{n}\rho_{i,t}(g)\rho_{t,j}(g)\)가 성립하므로 comultiplication \(\mu: C_{\rho} \to C_{\rho} \otimes C_{\rho}\) 를 다음과 같이 정의할 수 있다

\[\mu(u)=\sum_{i,j}^n a_{i,j}u_i\otimes u_j\in C_{\rho} \otimes C_{\rho}\] 여기서 모든 \(g,h\in G\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다 \[u(gh)=\sum_{i,j}^n a_{i,j}u_i(g)\otimes u_j(h)\]

• coassociativity 가 성립한다 \[(\operatorname{id}\otimes \mu) \circ \mu = (\mu \otimes \operatorname{id}) \circ \mu : C_{\rho}\to C_{\rho} \otimes C_{\rho} \otimes C_{\rho} \]
• counit 은 \( \epsilon : C_{\rho}\to k, u\mapsto u(e) \) 로 정의되며, 다음을 만족한다 \[(\operatorname{id}\otimes \epsilon) \circ \mu =\operatorname{id}, (\epsilon \otimes \operatorname{id}) \circ \mu=\operatorname{id} \]

리 군에 정의된 함수

• \(\rho: SL(2)\to M_2(\mathbb{C})\) 를 생각하자
• \(\mathbb{C}[SL(2)]\)는 \(a,b,c,d\)로 생성되며 \(ad-bc=1\)을 만족한다
• 공대수 구조를 가지며, 더 나아가 호프 대수(Hopf algebra)의 예이다
• \(\mathbb{C}[SL(2)]\)의 양자화 \(\mathbb{C}_{q}[SL(2)]\)는 \(a,b,c,d\)로 생성되며, 다음을 만족한다

\[ba=qab, bc=cb, ca=qac, dc=qcd,db=qbd, da=ad+(q-q^{-1})bc, ad-q^{-1}bc=1\]

관련된 항목들

• 호프 대수(Hopf algebra)
• 양자 바일 대수와 양자평면

수학용어번역

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관련도서

• Miller. 1968. Lie Theory and Special Functions. Academic Press.
• Vilenkin, Naum I︠A︡kovlevich. 1968. Special Functions and the Theory of Group Representations. American Mathematical Soc.