양자 바일 대수와 양자평면

개요

• \(\mathbb{C}[q,q^{-1}]\) 위에서 u,v 로 생성되는 대수, \(uv=qvu\) 를 만족시킴
• q-이항계수 (가우스 다항식) 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨
• 양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

q-이항계수

• 세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의\[yx=qxy,xq=qx,yq=qy\]
• 다음과 같은 전개를 얻는다\[(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\]

하이젠베르크 대수와의 관계

• 하이젠베르크 군과 대수
• 하이젠베르크 교환관계식을 만족시키는 self-adjoint 연산자 \(P,Q\)

\[ [P,Q] = -i \hbar I \]

• 다음과 같은 one-parameter 유니터리 연산자를 정의

\[ U(\alpha)=e^{i\alpha P},V(\alpha)=e^{i\alpha Q}, \alpha\in \mathbb{R} \]

• 이 때, 다음과 같은 관계를 만족한다 (베이커-캠벨-하우스도르프 공식)

\[ U(\alpha)U(\beta)=U(\beta)U(\alpha)=U(\alpha+\beta), \] \[ V(\alpha)V(\beta)=V(\beta)V(\alpha)=V(\alpha+\beta) \] \[ U(\alpha)V(\beta)=e^{i\hbar \alpha \beta}V(\beta)U(\alpha) \]

• \(U(\alpha)=e^{i\alpha P}\), \(V(\beta)=e^{i\alpha Q}\), \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\)로 생성되는 복소수체 위의 대수를 바일 대수라 함
• 적당한 completion을 거쳐 바일 \(C^{*}\) 대수를 얻는다

realization

• \(u,v\)를 \(x\)를 변수로 갖는 함수집합에 작용하는 다음과 같은 연산자로 정의하자

\[ \begin{aligned} uf(x)& :=&xf(x) \\ vf(x)& :=&f(x/q) \end{aligned} \]

• \((uvf)(x)=x f(x/q)\)
• \(q(vuf)(x)=qv(xf(x))=q \left(x/q f(x/q)\right)=x f(x/q)\)
• 따라서 \(uv=qvu\)

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 양자 조화진동자
• 양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)
• 베이커-캠벨-하우스도르프 공식
• 비가환 대수

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN2FLUWE2ZXVlUU0/edit

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_algebra

관련논문

• Futorny, Vyacheslav, and Uma Iyer. “Representations of D_q(k [x]).” arXiv:1506.03601 [math], June 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.03601.
• Lopes, Samuel A., and João N. P. Lourenço. “A Multiparameter Family of Irreducible Representations of the Quantum Plane and of the Quantum Weyl Algebra.” arXiv:1407.6646 [math], July 24, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.6646.
• Kirkman, E., C. Procesi, and L. Small. 1994. “A Q-analog for the Virasoro Algebra.” Communications in Algebra 22 (10): 3755–3774. doi:10.1080/00927879408825052.
• Robinson, P. L. 1993. “The Structure of Exponential Weyl Algebras.” Journal of the Australian Mathematical Society (Series A) 55 (03): 302–310. doi:10.1017/S1446788700034054.
• Jategaonkar, Vasanti A. 1984. “A Multiplicative Analog of the Weyl Algebra.” Communications in Algebra 12 (14): 1669–1688. doi:10.1080/00927878408823074.

메타데이터

위키데이터

• ID : Q1069378

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'weyl'}, {'LEMMA': 'algebra'}]