양자 바일 대수와 양자평면

수학노트
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개요



q-이항계수

  • 세 변수 <math>x,y,q</math> 사이에 다음과 같은 관계를 정의:<math>yx=qxy,xq=qx,yq=qy</math>
  • 다음과 같은 전개를 얻는다:<math>(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4</math>


하이젠베르크 대수와의 관계

<math>

[P,Q] = -i \hbar I </math>

  • 다음과 같은 one-parameter 유니터리 연산자를 정의
<math>

U(\alpha)=e^{i\alpha P},V(\alpha)=e^{i\alpha Q}, \alpha\in \mathbb{R} </math>

<math>

U(\alpha)U(\beta)=U(\beta)U(\alpha)=U(\alpha+\beta), </math>

<math>

V(\alpha)V(\beta)=V(\beta)V(\alpha)=V(\alpha+\beta) </math>

<math>

U(\alpha)V(\beta)=e^{i\hbar \alpha \beta}V(\beta)U(\alpha) </math>

  • <math>U(\alpha)=e^{i\alpha P}</math>, <math>V(\beta)=e^{i\alpha Q}</math>, <math>\alpha,\beta\in \mathbb{R}</math>로 생성되는 복소수체 위의 대수를 바일 대수라 함
  • 적당한 completion을 거쳐 바일 <math>C^{*}</math> 대수를 얻는다


realization

  • <math>u,v</math>를 <math>x</math>를 변수로 갖는 함수집합에 작용하는 다음과 같은 연산자로 정의하자
<math>

\begin{aligned} uf(x)& :=&xf(x) \\ vf(x)& :=&f(x/q) \end{aligned} </math>

  • <math>(uvf)(x)=x f(x/q)</math>
  • <math>q(vuf)(x)=qv(xf(x))=q \left(x/q f(x/q)\right)=x f(x/q)</math>
  • 따라서 <math>uv=qvu</math>


메모



관련된 항목들


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관련논문

  • Futorny, Vyacheslav, and Uma Iyer. “Representations of D_q(k [x]).” arXiv:1506.03601 [math], June 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.03601.
  • Lopes, Samuel A., and João N. P. Lourenço. “A Multiparameter Family of Irreducible Representations of the Quantum Plane and of the Quantum Weyl Algebra.” arXiv:1407.6646 [math], July 24, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.6646.
  • Kirkman, E., C. Procesi, and L. Small. 1994. “A Q-analog for the Virasoro Algebra.” Communications in Algebra 22 (10): 3755–3774. doi:10.1080/00927879408825052.
  • Robinson, P. L. 1993. “The Structure of Exponential Weyl Algebras.” Journal of the Australian Mathematical Society (Series A) 55 (03): 302–310. doi:10.1017/S1446788700034054.
  • Jategaonkar, Vasanti A. 1984. “A Multiplicative Analog of the Weyl Algebra.” Communications in Algebra 12 (14): 1669–1688. doi:10.1080/00927878408823074.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'weyl'}, {'LEMMA': 'algebra'}]
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