양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

수학노트
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개요

\[\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

\[(-z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

 

잭슨 적분과 양자 다이로그 함수

q-integral (Jackson integral)

  • \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의

\[\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\]

  • \(q\to 1\) 이면,

\[\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \]


 

양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

\[\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \]

  • 잭슨 적분을 이용하여 $\operatorname{Li}_{2,q}(z)$를 다음과 같이 정의

\[\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t=-z(1-q)\sum_{n=0}^{\infty}q^n \frac{\log (1-zq^n)}{zq^n}=(q-1)\sum_{n=0}^{\infty}\log (1-zq^n) \]

  • 양자 다이로그 함수를 다음과 같이 정의함

\[\Psi(z) :=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\]

  • 다음의 함수를 양자 다이로그 함수로 정의하는 경우도 있음

$$ \operatorname{Li}_{2}(x;q):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} $$

  • 다음의 관계가 성립한다

$$ -\log \Psi(x) =\sum_{i=0}^{\infty}-\log(1-xq^i)=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}q^{in}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} $$

 

\(q\to 1\) 일 때의 근사식

  • \(q=e^{-t}\) 이고 t가 0으로 갈 때,

\[\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\sim(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})\] $$ \operatorname{Li}_{2}(x;e^{-t})\sim \frac{\text{Li}_2(x)}{t}-\frac{1}{2} \log (1-x)-\frac{t x}{12 (x-1)}+\frac{t^3 x (x+1)}{720 (x-1)^3}-\frac{t^5 x \left(x^3+11 x^2+11 x+1\right)}{30240 (x-1)^5}+\cdots $$


 

q가 root of unity 일 때의 근사식

  • [BR1995] section 3

 

양자 다이로그 항등식

 

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