"리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 13일 (금) 18:12 기준 최신판

개요

복소수체 위의 15차원 리대수 \(\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})\)
\(\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}\)
\(A_3\) 타입의 단순 리대수

리대수 \(\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})\)

기저

\[ \begin{array}{|rcl|} \hline h_1 & = & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline h_2 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline h_3 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right) \\ \hline e_1 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline e_2 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline e_3 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline e_4 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline e_5 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline e_6 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline f_i & = & e_i^t,\quad 1\leq i\leq 6 \\ \hline \end{array} \]

\(A_3\) 카르탄 행렬

\[A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array} \right)\]

\(A_3\) 루트 시스템

\[\Phi=\left\{ \alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3,\\ -\alpha _1,-\alpha _2,-\alpha _3,-\alpha _1-\alpha _2,-\alpha _2-\alpha _3,-\alpha _1-\alpha _2-\alpha _3 \right \}\]

바일군

\[\{s[],s[1],s[2],s[3],s[1,2],s[1,3],s[2,1],s[2,3],s[3,2],\\ s[1,2,1],s[1,2,3],s[1,3,2],s[2,1,3],s[2,3,2],s[3,2,1],\\ s[1,2,1,3],s[1,2,3,2],s[1,3,2,1],s[2,1,3,2],s[2,3,2,1],s[1,2,1,3,2],s[1,2,3,2,1],s[2,1,3,2,1],s[1,2,1,3,2,1]\} \]

\(A_3\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^4\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
- \(\alpha_1=(1,-1,0,0)\)
- \(\alpha_2=(0,1,-1,0)\)
- \(\alpha_3=(0,0,1,-1)\)

fundamental weights
- \(\omega_1=(3/4, -(1/4), -(1/4), -(1/4))\)
- \(\omega_2=(1/2, 1/2, -(1/2), -(1/2))\)
- \(\omega_3=(1/4, 1/4, 1/4, -(3/4))\)
바일 벡터 \(\rho=(3/2, 1/2, -(1/2), -(3/2))\)

유한차원 기약 표현의 분류

유한차원 기약 표현 \(V\)에 대하여, 적당한 dominant weight \(\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3,\quad a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)가 존재하여, \(V\cong L(\omega)\)가 성립
바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다

\[ \dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{12} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (a+b+c+3) \]

기약표현의 예

표현 \(V=L(\lambda)\)의 지표를 다음과 같이 정의

\[ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} \]

\(x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}\)로 두면, \(\chi_{\lambda}\)는 \(\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]\)의 원소가 된다
바일 지표 공식 (Weyl character formula) 항목 참조

예1

fundamental 표현, highest weight은 \(\omega_1\)
4차원 표현
지표

\[ \chi_{\omega_1}=x_1+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_3}+\frac{x_3}{x_2} \]

weight diagram

예2

adjoint 표현, highest weight은 \(\omega_1+\omega_3\)
15차원 표현
지표

\[ \chi_{\omega_1+\omega_3}=3+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_3^2}+\frac{1}{x_1 x_3}+\frac{x_1}{x_2 x_3}+\frac{x_1 x_2}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+x_1 x_3+\frac{x_1 x_3}{x_2^2}+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{x_2 x_3}{x_1}+\frac{x_3^2}{x_2} \]

weight diagram

예3

highest weight \(\omega_1+\omega_2+\omega_3\)
64차원 표현
weight diagram

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZUxWaFY4ZDRvTHM/edit

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 ==개요==
-* 복소수체 위의 15차원 리대수 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})$
+* 복소수체 위의 15차원 리대수 <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})</math>
-* $\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}$
+* <math>\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}</math>
-* $A_3$ 타입의 단순 리대수
+* <math>A_3</math> 타입의 단순 리대수
-==리대수 $\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})$==
+==리대수 <math>\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})</math>==
 * 기저
-$$
+:<math>
 \begin{array}{|rcl|}
 \hline
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 \hline
 \end{array}
-$$
+</math>
-* $A_3$ 카르탄 행렬
+* <math>A_3</math> 카르탄 행렬
 :<math>A=\left(
 \begin{array}{ccc}
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 \end{array}
 \right)</math>
-* $A_3$ 루트 시스템
+* <math>A_3</math> 루트 시스템
 :<math>\Phi=\left\{
 \alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3,\\
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 \}</math>
 * 바일군
-$$\{s[],s[1],s[2],s[3],s[1,2],s[1,3],s[2,1],s[2,3],s[3,2],\\
+:<math>\{s[],s[1],s[2],s[3],s[1,2],s[1,3],s[2,1],s[2,3],s[3,2],\\
 s[1,2,1],s[1,2,3],s[1,3,2],s[2,1,3],s[2,3,2],s[3,2,1],\\
 s[1,2,1,3],s[1,2,3,2],s[1,3,2,1],s[2,1,3,2],s[2,3,2,1],s[1,2,1,3,2],s[1,2,3,2,1],s[2,1,3,2,1],s[1,2,1,3,2,1]\}
-$$
+</math>
 * <math>A_3</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^4</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
 ** <math>\alpha_1=(1,-1,0,0)</math>
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 [[파일:리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론1.png]]
 * fundamental weights
-** $\omega_1=(3/4, -(1/4), -(1/4), -(1/4))$
+** <math>\omega_1=(3/4, -(1/4), -(1/4), -(1/4))</math>
-** $\omega_2=(1/2, 1/2, -(1/2), -(1/2))$
+** <math>\omega_2=(1/2, 1/2, -(1/2), -(1/2))</math>
-** $\omega_3=(1/4, 1/4, 1/4, -(3/4))$
+** <math>\omega_3=(1/4, 1/4, 1/4, -(3/4))</math>
 * 바일 벡터 <math>\rho=(3/2, 1/2, -(1/2), -(3/2))</math>
 ==유한차원 기약 표현의 분류==
-* 유한차원 기약 표현 $V$에 대하여, 적당한 dominant weight $\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3,\quad a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$가 존재하여, $V\cong L(\omega)$가 성립
+* 유한차원 기약 표현 <math>V</math>에 대하여, 적당한 dominant weight <math>\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3,\quad a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>가 존재하여, <math>V\cong L(\omega)</math>가 성립
 * [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]을 이용하면, 다음을 얻는다
-$$
+:<math>
 \dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{12} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (a+b+c+3)
-$$
+</math>
 ==기약표현의 예==
-* 표현 $V=L(\lambda)$의 지표를 다음과 같이 정의
+* 표현 <math>V=L(\lambda)</math>의 지표를 다음과 같이 정의
-$$
+:<math>
 \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}
-$$
+</math>
-* $x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}$로 두면, $\chi_{\lambda}$는 $\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]$의 원소가 된다
+* <math>x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}</math>로 두면, <math>\chi_{\lambda}</math>는 <math>\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]</math>의 원소가 된다
 * [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 항목 참조
 ===예1===
-* fundamental 표현, highest weight은 $\omega_1$
+* fundamental 표현, highest weight은 <math>\omega_1</math>
 * 4차원 표현
 * 지표
-$$
+:<math>
 \chi_{\omega_1}=x_1+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_3}+\frac{x_3}{x_2}
-$$
+</math>
 * weight diagram
 [[파일:리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론2.png]]
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 ===예2===
-* adjoint 표현, highest weight은 $\omega_1+\omega_3$
+* adjoint 표현, highest weight은 <math>\omega_1+\omega_3</math>
 * 15차원 표현
 * 지표
-$$
+:<math>
 \chi_{\omega_1+\omega_3}=3+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_3^2}+\frac{1}{x_1 x_3}+\frac{x_1}{x_2 x_3}+\frac{x_1 x_2}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+x_1 x_3+\frac{x_1 x_3}{x_2^2}+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{x_2 x_3}{x_1}+\frac{x_3^2}{x_2}
-$$
+</math>
 * weight diagram
 [[파일:리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론3.png]]
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 ===예3===
-* highest weight $\omega_1+\omega_2+\omega_3$
+* highest weight <math>\omega_1+\omega_2+\omega_3</math>
 * 64차원 표현
 * weight diagram