대칭군의 지표(character)에 대한 프로베니우스 공식

개요

• 슈르 다항식(Schur polynomial)을 이용하여, 대칭군 (symmetric group)의 지표를 계산하는 방법
• 대칭군 \(S_m\)의 기약표현은 크기가 m인 영 다이어그램(또는 m의 분할)과 일대일대응된다
• m의 분할 \(\lambda\)에 대응되는 \(S_m\)의 기약표현의 지표를 \(\chi_{\lambda}\) 로 나타내자
• \(C_{\mathbf{i}}=(1^{i_1},2^{i_2},\cdots,m^{i_m})\)를 \(i_1+2i_2+\cdots mi_m=m\)를 만족시키는 대칭군 \(S_m\)의 공액류라 하면, \(\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})\)의 값은 다음 프로베니우스 공식으로 주어진다

\[\left(\sum_{l=1}^{m} x_l\right)^{i_1}\left(\sum_{l=1}^{m} x_l^2\right)^{i_2}\cdots \left(\sum_{l=1}^{m} x_l^m\right)^{i_m}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}(x_1,\cdots, x_m)\] 여기서 \(S_{\lambda}\) 는 슈르 다항식(Schur polynomial)

• 다음과 같이 표현하기도 한다

\[\prod_{j=1}^{m}P_{j}(x)^{i_j}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}(x_1,\cdots, x_m)\]

예

\(S_3\)

• 대칭군 \(S_3\) 의 지표 테이블

\begin{array}{c|ccc} & \{1^3\} & \{1^1,2^1\} & \{3^1\} \\ \hline \{3\} & 1 & 1 & 1 \\ \{2,1\} & 2 & 0 & -1 \\ \{1,1,1\} & 1 & -1 & 1 \end{array}

• 슈르 다항식

\[ \begin{align} S_{(3)} & = &x_1 x_2 x_3+\left(x_1+x_2+x_3\right){}^3-2 \left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3\right) \\ S_{(2,1)} & =&\left(x_1+x_2\right) \left(x_1+x_3\right) \left(x_2+x_3\right) \\ S_{(1,1,1)} &= &x_1 x_2 x_3 \end{align} \]

• 슈르 다항식과 거듭제곱의 합 (power sum) 대칭다항식

\[ \begin{align}  \left(x_1+x_2+x_3\right){}^3&=S_{(3)}+2\cdot S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)}\\ \left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)& = S_{(3)}+0\cdot S_{(2,1)}-S_{(1,1,1)}\\ x_1^3+x_2^3+x_3^3&=S_{(3)}-1\cdot S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)} \end{align} \]

\(S_4\)

• 지표 테이블

\begin{array}{c|ccccc} & \{1^4\} & \{1^2,2^1\} & \{1^1,3^1\} & \{2^2\} & \{4^1\} \\ \hline \{4\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{3,1\} & 3 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ \{2,2\} & 2 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ \{2,1,1\} & 3 & -1 & 0 & -1 & 1 \\ \{1,1,1,1\} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \end{array}

\(S_5\)

• 지표 테이블

\begin{array}{c|ccccccc} & \{1^5\} & \{1^3,2^1\} & \{1^2,3^1\} & \{1^1,2^2\} & \{1^1,4^1\} & \{2^1,3^1\} & \{5^1\} \\ \hline \{5\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{4,1\} & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ \{3,2\} & 5 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ \{3,1,1\} & 6 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \{2,2,1\} & 5 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ \{2,1,1,1\} & 4 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ \{1,1,1,1,1\} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}

\(S_6\)

• 지표 테이블

\begin{array}{c|ccccccccccc} & \{1^6\} & \{1^4,2^1\} & \{1^3,3^1\} & \{1^2,2^2\} & \{1^2,4^1\} & \{1^1,2^1,3^1\} & \{1^1,5^1\} & \{2^3\} & \{2^1,4^1\} & \{3^2\} & \{6^1\} \\ \hline \{6\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{5,1\} & 5 & 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ \{4,2\} & 9 & 3 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ \{4,1,1\} & 10 & 2 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0 & -2 & 0 & 1 & 1 \\ \{3,3\} & 5 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & -3 & -1 & 2 & 0 \\ \{3,2,1\} & 16 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 0 \\ \{3,1,1,1\} & 10 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 \\ \{2,2,2\} & 5 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 3 & -1 & 2 & 0 \\ \{2,2,1,1\} & 9 & -3 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ \{2,1,1,1,1\} & 5 & -3 & 2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ \{1,1,1,1,1,1\} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \end{array}

\(S_7\)

• 지표 테이블

\begin{array}{c|ccccccccccccccc} & \{1^7\} & \{1^52^1\} & \{1^43^1\} & \{1^32^2\} & \{1^34^1\} & \{1^22^13^1\} & \{1^25^1\} & \{1^12^3\} & \{1^12^14^1\} & \{1^13^2\} & \{1^16^1\} & \{2^23^1\} & \{2^15^1\} & \{3^14^1\} & \{7^1\} \\ \hline \{7\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{6,1\} & 6 & 4 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ \{5,2\} & 14 & 6 & 2 & 2 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & -1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ \{5,1,1\} & 15 & 5 & 3 & -1 & 1 & -1 & 0 & -3 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1 \\ \{4,3\} & 14 & 4 & -1 & 2 & -2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 2 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ \{4,2,1\} & 35 & 5 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ \{4,1,1,1\} & 20 & 0 & 2 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ \{3,3,1\} & 21 & 1 & -3 & 1 & -1 & 1 & 1 & -3 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ \{3,2,2\} & 21 & -1 & -3 & 1 & 1 & -1 & 1 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ \{3,2,1,1\} & 35 & -5 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ \{3,1,1,1,1\} & 15 & -5 & 3 & -1 & -1 & 1 & 0 & 3 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 \\ \{2,2,2,1\} & 14 & -4 & -1 & 2 & 2 & -1 & -1 & 0 & 0 & 2 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ \{2,2,1,1,1\} & 14 & -6 & 2 & 2 & 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & -1 & 1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ \{2,1,1,1,1,1\} & 6 & -4 & 3 & 2 & -2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & -1 \\ \{1,1,1,1,1,1,1\} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

 

 

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

• 대칭군의 표현론

 

 

수학용어번역

• 공액류, conjugacy class
• 지표, character - 대한수학회 수학용어집
• 켤레변형, 공액연산자, conjugacy - 대한수학회 수학용어집
• 류, class - 대한수학회 수학용어집

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYUZOWFFBZl9IMWM/edit
• 매스매티카 파일 목록
• http://mathoverflow.net/questions/96705/computer-package-for-representation-theory-of-the-symmetric-group
• Stein, P.R., and C. Zemach. 1993. “Symmetric Function Algebra on a Computer.” Advances in Applied Mathematics 14 (4) (December): 430–454. doi:10.1006/aama.1993.1022.
• http://mathoverflow.net/questions/162478/character-table-of-s-7

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• http://mathematicalgemstones.wordpress.com/2012/05/21/characters-of-the-symmetric-group/

 

관련논문

• Rosa Orellana, Mike Zabrocki, Symmetric group characters as symmetric functions, arXiv:1605.06672 [math.CO], May 21 2016, http://arxiv.org/abs/1605.06672
• Orellana, Rosa, and Mike Zabrocki. “Symmetric Group Characters as Symmetric Functions.” arXiv:1510.00438 [math], October 1, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.00438.
• Regev, Alon, Amitai Regev, and Doron Zeilberger. “Identities in Character Tables of \(S_n\).” arXiv:1507.03499 [math], July 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.03499.