"Q-초기하급수의 점근 급수"의 두 판 사이의 차이

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* <math>a>0,x>0,b\in\mathbb{R}</math>라 두자
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* z>0는 방정식 <math>1-x=zx^{a}</math> 의 해라 하자.
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* <math>x>0</math>는 방정식 <math>1-x=x^{a}</math> 의 해라 하자.
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* 다음 근사식이 성립함 '''[McIntosh1995]''' :<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^nq^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}} \exp (-\frac{1}{\log q}\{\operatorname{Li}_2(zx^{a})+\frac{a}{2}\log^2 x\})</math> 또는 :<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^nq^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}} \exp (\frac{L(1-x)}{t})</math>   이 때, <math>q=e^{-t}</math>.
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* <math>q=e^{-t}</math> 이고 <math>t\to 0</math> 일 때, 다음의 점근 급수를 얻는다 '''[McIntosh1995]'''  
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:<math>\log \sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \log \left(\frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}}\right)+\frac{\operatorname{Li}_2(x^{a})+\frac{a}{2}\log^2 x}{t}</math> 또는  
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:<math>\log \sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \log \left(\frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}}\right) +\frac{L(1-x)}{t}</math>  
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여기서 <math>L</math>은 [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)]]
  
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*  <math>A=1/2</math>인 경우
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*  <math>A=1</math>인 경우 [[베버(Weber) 모듈라 함수]]
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:<math>\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n^2/2}}{(q)_n}\sim \exp(\frac{\pi^2}{12t}-\frac{t}{48})</math>:<math>2\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt{2}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math>:<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math>
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*  <math>A=2</math>인 경우 [[로저스-라마누잔 항등식]]
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:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})</math>
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:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})</math>
  
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*  A=1/2 (3,5) minimal model:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}}} {(q;q)_n}\sim \frac{2}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}-\frac{t}{40})+o(t^5)</math>:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}}} {(q;q)_n} \sim \frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}+\frac{t}{40})+o(t^5)</math><br>
 
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*  A=1 (3,4) minimal model:<math>\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n^2/2}}{(q)_n}\sim \exp(\frac{\pi^2}{12t}-\frac{t}{48})</math>:<math>2\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt{2}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math>:<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math><br>
 
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*  A=2 (2,5) minimal model [[로저스-라마누잔 항등식]]:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})+o(1)</math>:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})+o(1)</math><br>
 
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* [[수학사 연표]]
 
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==메모==
 
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* [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)]]
 
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 
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==관련논문==
 
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[[분류:q-급수]]
 
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2020년 11월 16일 (월) 03:55 기준 최신판

개요

  • \(a>0,b\in\mathbb{R}\)라 두자
  • \(x>0\)는 방정식 \(1-x=x^{a}\) 의 해라 하자.
  • \(q=e^{-t}\) 이고 \(t\to 0\) 일 때, 다음의 점근 급수를 얻는다 [McIntosh1995]

\[\log \sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \log \left(\frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}}\right)+\frac{\operatorname{Li}_2(x^{a})+\frac{a}{2}\log^2 x}{t}\] 또는 \[\log \sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \log \left(\frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}}\right) +\frac{L(1-x)}{t}\] 여기서 \(L\)은 로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)


예

  • \(A=1/2\)인 경우

\[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}}} {(q;q)_n}\sim \frac{2}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}-\frac{t}{40})\] \[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}}} {(q;q)_n} \sim \frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}+\frac{t}{40})\]

\[\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n^2/2}}{(q)_n}\sim \exp(\frac{\pi^2}{12t}-\frac{t}{48})\]\[2\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt{2}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\]\[\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\]

\[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})\] \[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})\]


역사



메모



관련된 항목들



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리뷰논문, 에세이, 강의노트

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