각운동량의 양자 이론

개요

• 고전역학의 각운동량
• 오비탈 각운동량
• 스핀 각운동량

고전역학의 각운동량

• 고전적 의미에서 선운동량(linear momentum)이 물체가 직선운동하는데 대한 운동의 크기를 나타낸다. 이와 유사하게 각운동량(angular momentum)이란 물체가 회전운동하는데 대한 운동의 크기를 나타낸다.
• 회전운동의 크기는 회전반지름, 물체의 질량, 회전속도에 비례해야 할 것이다. 여기에 방향을 고려하면 각운동량 벡터 \(\mathbf{\Omega}\)는 아래와 같이 정의된다. 방향을 정의할 때는 관습에 따라 오른손 규약을 따른다

\[\mathbf{\Omega}=\mathbf{x}\times \mathbf{p}\]

• \(\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\), \(\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3)\)로 두면, 각운동량 벡터의 각 성분은 \(\Omega_j =\epsilon_{jkl} x_k p_l\) 로 주어진다
• 포아송 괄호를 다음과 같이 정의하자

\[ \{f,g\} : = \sum_{i=1}^{3} \left[ \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial x_{i}} \right] \]

• 각운동량 벡터의 각 성분은 다음을 만족한다

\[ \{\Omega_{i},\Omega_{j}\}=\epsilon_{ijk}\Omega_{k} \] 풀어 쓰면, \[ \{\Omega_1 , \Omega_2 \} = \Omega_3 \\ \{\Omega_2 , \Omega_3 \} = \Omega_1 \\ \{\Omega_3 , \Omega_1 \} = \Omega_2 \]

양자화된 궤도각운동량(Orbital Angular Momentum)

• 위치 연산자와 운동량 연산자의 양자화

\[[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\]\[\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}\]

• 3차원에서는 다음 정준교환자관계식(canonical commutation relation)이 성립한다. 이는 불확정성의 원리와 관계가 있다.

\[ [\hat{x}_k , \hat{p}_l ] = i \hbar \delta_{kl} I \label{xp} \]

• 수소원자를 이루는 전자의 각운동량은 3차원 직각좌표계를 도입할 때 \(\mathbf{L} = (L_1 ,L_2 ,L_3)\) 와 같이 세 개의 성분으로 표시 가능. 여기서 세 성분은 다음과 같이 주어지게 된다

\[L_j =\epsilon_{jkl} \hat{x}_k \hat{p}_l\]

• 불확정성의 원리에 기반하여 실험적으로는 아무리 측정을 잘 해도 이 세 성분을 정확히 측정하는 것은 불가능함.
• 관계식 \ref{xp}로부터 각운동량의 각 성분들에 대한 아래의 교환자 관계식을 얻는다.

\[[L_i , L_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k\] 풀어 쓰면, \[ [L_1 , L_2 ] = i \hbar L_3 \\ [L_2 , L_3 ] = i \hbar L_1 \\ [L_3 , L_1 ] = i \hbar L_2 \]

• 오비탈 각운동량 항목 참조

스핀각운동량(Spin Angular Momentum)

• 스핀각운동량에 관하여도 유사한 논리가 성립한다.\[[S_i , S_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} S_k\]

• 스핀과 파울리의 배타원리
• 파울리 행렬

3-j 기호

• 3-j 기호(3-j symbols)

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• Semiclassical analysis ofWigner 3j-symbol http://bohr.physics.berkeley.edu/hal/pubs/AqHaLiYu2007/AqHaLiYuJPA3jSymbol.pdf
• example
  • [1]http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/quant.mech/lectures/lecture_8/node3.html
  • http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=172397
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 벡터의 외적(cross product)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYWVBU2RnRWN2Sk0/edit
• http://demonstrations.wolfram.com/AdditionOfAngularMomentaInQuantumMechanics/

사전 형태의 자료

• http://mathworld.wolfram.com/Clebsch-GordanCoefficient.html
• http://mathworld.wolfram.com/RacahV-Coefficient.html
• http://mathworld.wolfram.com/Wigner3j-Symbol.html

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Paul E.S. Wormer, ANGULAR MOMENTUM THEORY
• Quantization of the Spins
• Theory of Angular Momentum and Spin
• Michael Weiss, Lie Groups and Quantum Mechanics

관련논문

• Bitencourt, Ana Carla P., Mirco Ragni, Robert G. Littlejohn, Roger Anderson, and Vincenzo Aquilanti. “The Screen Representation of Vector Coupling Coefficients or Wigner 3j Symbols: Exact Computation and Illustration of the Asymptotic Behavior.” arXiv:1409.8205 [gr-Qc, Physics:math-Ph, Physics:quant-Ph] 8579 (2014): 468–81. doi:10.1007/978-3-319-09144-0_32.

관련도서

• Angular Momentum in Quantum Mechanics
• Quantum Theory of Angular Momemtum