스핀과 파울리의 배타원리

수학노트
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개요

  • 입자의 '내재적'인 각운동량에 해당하는 개념
  • 수학적으로는 Spin(3), 즉 \(SU(2)\)의 표현론에 의해 이해할 수 있음


스핀과 입자

  • \(SU(2)\)의 표현론
  • highest weight of the module 의 1/2 = spin
    • 카시미어 연산자를 통해 얻어낼 수 있다
  • 스핀이 0인 입자의 스피너(성분이 하나)는 유니타리 변환에 대해 불변이다. 입자물리학에서 이러한 입자들을 스칼라 입자라 부른다.
  • 스핀이 1/2, \(SU(2)\)의 2차원 표현론, 페르미온
  • 스핀이 1인 입자의 스피너(성분이 세개)는 유니타리 변환에 대해 벡터처럼 변환한다. 입자물리학에서 이러한 입자들을 벡터 입자라 부른다. (예. intermediate vector bosons)
  • 스핀이 3/2 인 시스템은 \(SU(2)\)의 4차원 표현론과 관계있다.


파울리 행렬

\[\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \] \[\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \] \[\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\]

  • 교환자 관계식

\[[\sigma _i,\sigma _j]=2i \epsilon _{i j k}\sigma _k\]

  • raising and lowering 연산자\[\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y})\]\[\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\]\[\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\]\[[\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\]



역사



메모


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Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'spin'}]
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