'142857의 신비' 해설

개요

• 인터넷에 떠돌아다니고 있는 ‘142857의 신비‘에 대한 이해

세상에서 가장 신비한 수는 142857 이라는 수입니다.

평범해보이는 이 수가 왜 그렇게 신비한걸까요? 142857에 1부터 6까지 차례로 곱해볼까요? 142857 X 1 = 142857 142857 X 2 = 285714 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428 142857 X 5 = 714285 142857 X 6 = 857142 이렇게 똑같은 숫자가 자릿수만 바꿔서 나타나니 신기하죠. 그러면 142857 에 7을 곱하면 얼마일까요? 답은 놀랍게도 999999 입니다. 게다가 142 + 857 = 999 이고 14 + 28 + 57 = 99 입니다. 마지막으로 142857 을 제곱하면 얼마가 될까요? 142857 을 제곱하면 20408122449 라는 수가 나오는데 20408 + 122449 = 142857 이 된답니다.

• 수학적 배경
  • 분수와 순환소수
  • 합동식 (모듈로 modulo 연산)
  • 합동식과 군론

나눗셈과정과 표만들기

• \(1/7=0.142857142857\cdots\)를 얻는 나누기 과정

• 나누기 과정의 요약

1 ->10 ÷ 7 = 1 … 3 ->30 ÷ 7 = 4 … 2 ->20 ÷ 7 = 2 … 6 ->60 ÷ 7 = 8 … 4 ->40 ÷ 7 = 5 … 5 ->50 ÷ 7 = 7 … 1 -> … 무한반복 …

• 표로 만들기

1 3 2 6 4 5 … ↓/ ↓/ ↓/ ↓ / ↓/ ↓ / ↓1 4 2 8 5 7 …

• 위의 표의 사용방법은 지난 글에 설명되어 있으니, 반드시 숙지
• 중요한 것은 표에 있는 화살표 따라가기

142857과 곱하기

142857에 1부터 6까지 차례로 곱해볼까요? 142857 X 1 = 142857 142857 X 2 = 285714 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428 142857 X 5 = 714285 142857 X 6 = 857142

그러면 142857 에 7을 곱하면 얼마일까요? 답은 놀랍게도 999999 입니다.

[해설]\[ 142857 = \frac{1 \times 10^6}{7} - \frac{1}{7} = 142857\]\[ 142857 \times 2 = \frac{2 \times 10^6}{7} - \frac{2}{7} = 285714\]\[ 142857 \times 3 = \frac{3 \times 10^6}{7} - \frac{3}{7} = 428571\]\[ 142857 \times 4 = \frac{4 \times 10^6}{7} - \frac{4}{7} = 571428\]\[ 142857 \times 5 = \frac{5 \times 10^6}{7} - \frac{5}{7} = 714285\]\[ 142857 \times 6 = \frac{6 \times 10^6}{7} - \frac{6}{7} = 857142\]\[ 142857 \times 7 = \frac{7 \times 10^6}{7} - \frac{7}{7} = 1000000 - 1 = 999999\]

142857과 더하기

게다가 142 + 857 = 999 이고

14 + 28 + 57 = 99 입니다.

[해설]\[142 = \frac{1 \times 10^3}{7} - \frac{6}{7}\]\[857 = \frac{6 \times 10^3}{7} - \frac{1}{7}\]\[142 + 857 = 1000 - 1 = 999\]\[14 = \frac{1 \times 10^2}{7} - \frac{2}{7}\]\[28 = \frac{2 \times 10^2}{7} - \frac{4}{7}\]\[57 = \frac{4 \times 10^2}{7} - \frac{1}{7}\]\[14 +28 + 57 = 100 - 1 = 99\]

142857의 제곱

마지막으로 142857 을 제곱하면 얼마가 될까요? 142857 을 제곱하면 20408122449 라는 수가 나오는데 20408 + 122449 = 142857 이 된답니다.

[해설]\[142857^2 = (\frac{1 \times 10^6}{7} - \frac{1}{7})^2 = \frac{1 \times 10^{12}}{49} - \frac{2 \times 10^6}{49} + \frac{1}{49}\]

이 단계에서는 이제 7이 아닌 49를 다루기 위한 표가 필요하다.

1 ÷ 49 = 0.02040816326530612244897959183673469387755102040816…

이제 1/7에서와 같은 방법으로 다음 표를 만든다. 이제 화살표는 생략

나머지	1	10	2	20	4	40	8	31	16	13	32	26	15	3	30
몫	0	2	0	4	0	8	1	6	3	2	6	5	3	0	6

표는 오른쪽으로 계속되지만 이 정도면 목적을 달성하기에 충분하다. 이제 이 표를 활용하면,

\(\frac{1 \times 10^{12}}{49} = 020408163265 +\frac{15}{49}\)

\(\frac{2 \times 10^6}{49} = 040816 +\frac{16}{49}\)

\(\frac{1}{49}= 0 + \frac{1}{49}\)

따라서

\(142857^2 = \frac{1 \times 10^{12}}{49} - \frac{2 \times 10^6}{49}+\frac{1}{49} = 20408163265 - 40816 + \frac{15}{49} - \frac{16}{49} +\frac{1}{49}\)

\(= 20408122449\)

이제 모든 준비가 끝났다.

위에서 20408122449는 아래와 같은 과정을 거쳐서 얻어졌다. 20408 + 122449 = 20408 + 163265 – 40816

20408, 163265, 40816 은 모두 위의 표에서 아래줄에 있는 숫자들을 연달아 써놓은 녀석들이 아니던가, 그렇다면 표를 통해서 분모가 49인 분수를 사용하여 표현할 수 있다.

\(20408 = \frac{10 \times 10^5}{49} -\frac{8}{49}\)

\(163265 = \frac{80 \times 10^5}{49} -\frac{15}{49}\)

\(40816 = \frac{20 \times 10^5}{49} -\frac{16}{49}\)

\(20408 + 163265 - 40816 = \frac{(10+80-20) \times 10^5}{49} -\frac{(8+15-16)}{49}= \frac{70 \times 10^5}{49}-\frac{7}{49}\)

정리하면,

\(20408 + 122449 = \frac{10^6}{7}-\frac{1}{7}\)

이 녀석은 이제는 너무나 익숙해져버린 142857 이 아니던가.

관련된 항목들

• 미디의 정리(Midy's theorem)

블로그

• 142857와 군론의 만남(3) : 142857의 신비, 완벽해설!
  • 피타고라스의 창, 2008-9-4