합동식과 군론

수학노트
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개요

  • 완전잉여계와 기약잉여계
  • 1부터 n까지의 양의 정수들은 덧셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸
    • 이 군을 <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> 로 표현함
    • 완전잉여계
  • 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수로 구성된 집합은 곱셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸
    • 이 군을 <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> 로 표현함
    • 이 집합의 원소의 개수는 <math>\varphi(n)</math>이며, 여기서 <math>\varphi</math>는 오일러의 totient 함수
    • 기약잉여계
  • 합동식이 무엇인지에 대해서는 합동식 (모듈로 modulo 연산) 항목을 참조
  • 군론에 대해서는 고교생도 이해할 수 있는 군론 입문 참조



n=4의 경우

  • <math>\{1,3\}</math> 의 곱셈 (mod 4) 테이블
<math>\times</math> 1 3
1 1 3
3 3 1


n=6의 경우

  • <math>\{1,5\}</math> 의 곱셈 (mod 6) 테이블
<math>\times</math> 1 5
1 1 5
5 5 1


n=7 의 경우

  • <math>\{1,2,3,4,5,6\}</math> 의 곱셈 테이블


<math>\times</math> 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 1 3 5
3 3 6 2 5 1 4
4 4 1 5 2 6 3
5 5 3 1 6 4 2
6 6 5 4 3 2 1


n=10 의 경우

  • <math>\{1,3,7,9\}</math> 의 곱셈 테이블
<math>\times</math> 1 3 7 9
1 1 3 7 9
3 3 9 1 7
7 7 1 9 3
9 9 7 3 1



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  • [{'LOWER': 'multiplicative'}, {'LOWER': 'group'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'integers'}, {'LOWER': 'modulo'}, {'LEMMA': 'n'}]
  • [{'LOWER': 'multiplicate'}, {'LOWER': 'group'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'the'}, {'LOWER': 'ring'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'integers'}, {'LOWER': 'modulo'}, {'LEMMA': 'n'}]
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