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| − | H 가 G의 부분군이라고 하자. | + | H 가 G의 부분군이라고 하자. a는 G의 생성원이라고 하자. |
| − | G의 | + | G의 원소는 <math>\cdots, a^{-1},a^{-1},a^{0}, a^1,a^2,\cdots</math> |
따라서 각각의 원소에 이 지수를 정의할 수 있다. (<math>\log_a g</math> 로 생각할 수 있음) | 따라서 각각의 원소에 이 지수를 정의할 수 있다. (<math>\log_a g</math> 로 생각할 수 있음) | ||
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항등원을 제외한 H의 원소중에서 이 지수의 값이 양수이며, 가장 작은 원소가 존재한다. 이 값을 <math>d</math> 로 두자. | 항등원을 제외한 H의 원소중에서 이 지수의 값이 양수이며, 가장 작은 원소가 존재한다. 이 값을 <math>d</math> 로 두자. | ||
| − | H의 원소 <math>a^k</math> 에 대하여, | + | H의 원소 <math>a^k</math> 에 대하여, <math>k=dq+r, 0\leq r < d</math> 를 사용하면, <math>a^k=a^{dq}a^r=(a^d)^q a^r</math> 형태로 쓸 수 있다. |
| − | H는 부분군이므로, | + | H는 부분군이므로, <math>a^r=(a^d)^{-q}a^k</math> 는 H의 원소이다. <math>d</math>의 정의에 따라, <math>r</math> 은 0이어야 한다. |
그러므로, 모든 H의 원소는 <math>a^d</math> 로 생성가능하다. ■ | 그러므로, 모든 H의 원소는 <math>a^d</math> 로 생성가능하다. ■ | ||
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2020년 12월 28일 (월) 02:37 판
개요
- 하나의 원소로 생성될 수 있는 군을 순환군(cyclic group)이라 함. 즉 모든 원소가 한 원소의 적당한 정수제곱으로 표현가능한 경우를 말함.
- \((\mathbb Z,+)\) 의 경우는 1로 모든 원소를 생성가능하므로, 순환군임.
- 2차원 평면의 정n각형에 대한 n개의 회전변환은 순환군임.
- \(z^n=1\) 를 만족시키는 n개의 복소수들은 곱셈에 대하여 순환군이 됨
- \(\zeta=e^{2\pi i \over n}\) 으로 생성가능.
- \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)\) 는 순환군임
- \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 가 순환군이 되는 경우는 원시근(primitive root) 항목을 참조
순환군의 부분군
(정리) 순환군의 모든 부분군은 순환군이다.
(증명)
H 가 G의 부분군이라고 하자. a는 G의 생성원이라고 하자.
G의 원소는 \(\cdots, a^{-1},a^{-1},a^{0}, a^1,a^2,\cdots\)
따라서 각각의 원소에 이 지수를 정의할 수 있다. (\(\log_a g\) 로 생각할 수 있음)
항등원을 제외한 H의 원소중에서 이 지수의 값이 양수이며, 가장 작은 원소가 존재한다. 이 값을 \(d\) 로 두자.
H의 원소 \(a^k\) 에 대하여, \(k=dq+r, 0\leq r < d\) 를 사용하면, \(a^k=a^{dq}a^r=(a^d)^q a^r\) 형태로 쓸 수 있다.
H는 부분군이므로, \(a^r=(a^d)^{-q}a^k\) 는 H의 원소이다. \(d\)의 정의에 따라, \(r\) 은 0이어야 한다.
그러므로, 모든 H의 원소는 \(a^d\) 로 생성가능하다. ■
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들