중심이항계수가 등장하는 어떤 급수에 대한 문제

문제의 서술

중심이항계수(central binomial coefficient)란

\[{2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\]

꼴의 이항계수를 말한다.

잘 알려진 카탈란 수열(Catalan numbers) 의 일반항은 \[c_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!}\]

으로 주어지는데, 중심이항계수가 등장함을 볼 수 있다.

1978년 아페리가 ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 를 증명할 때, 중심이항계수가 들어간 급수

\[\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}\]

를 중요하게 사용하였다.

Lehmer는 아래에 링크되어 있는 'Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient'[Lehmer1985] 를 통하여 중심이항계수가 등장하는 다양한 급수를 소개한 바 있다.

그 중 몇가지는 다음과 같다.

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}\] \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}\] \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}\]

이들은 다음과 같은 역삼각함수의 멱급수표현에 몇가지 다른 것을 더하여 유도가 가능하다.

\[2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\]

이 글에서 Lehmer는 중심이항계수와 함께 원주율(파이,π)가 등장하는 다음과 같은 식들을 소개한다.

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{2}+1\]

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\pi+3\]

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{7\pi}{2}+11\]

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{35\pi}{2}+55\]

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355\]

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{5} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{1787\pi}{2}+2807\]

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{6} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{16717\pi}{2}+26259\]

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067\]

그리고 일반적으로 자연수 \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여,

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b\] , (a와 b는 유리수)

가 성립하며, b/a는 원주율(파이,π) 의 유리수 근사라는 것을 언급하는데, 그 이유에 대해서는 별다른 설명과 참고문헌을 제시하지 않는다.

다음을 보자.

\[\pi=3.141592653589793238462643383279502884197169399375\cdots\]

\[\frac{355}{133}=3.1415929203539823008849557522123893805309734513274336283185\cdots\]

\[\frac{2807\cdot2}{1787}=3.1415780637940682708449916060436485730274202574146614437604\cdots\]

\[\frac{26259\cdot 2}{16717}=3.1415923909792426870850032900640066997667045522521983609499\cdots\]

\[\frac{719718067}{229093376}=3.141592653468950581967066564159410702472689563926981459298\cdots\]

355/113이 원주율(파이,π) 에 가까우므로, 355의 두 배에 매우 가까울 것임을 생각할 수 있고, 실제로 다음과 같은 재미있는 식을 얻을 수 있다.

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355=709.9999698556466359462787\cdots \approx 710\]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+m^4*2^m/(binom(2m,m))+from+1+to+infinity

왜

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b\]

에서, \(b/a\)는 원주율(파이,π) 의 유리수 근사가 되는 것일까?

아시는 분은 알려주시길...

재미있는 사실

• 숫자 163 에 등장하는 다음 식들과는 관계가 없(을 것이)다.\[\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.9999999999992500725\cdots\approx 262537412640768744\]\[e^{\pi \sqrt{67}} = 147197952743.9999986624542245068292613\approx 147197952744\]

관련된 항목들

• 중심이항계수(central binomial coefficient)
• ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)

관련논문

• [Lehmer1985]Lehmer, D. H. 1985. Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient. The American Mathematical Monthly 92, no. 7: 449-457. doi:10.2307/2322496.
• Dyson, F. J, N. E Frankel, and M. L Glasser. 2010. Lehmer's Second Interesting Seies. 1009.4274 (September 22). http://arxiv.org/abs/1009.4274.
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

계산 리소스

• http://oeis.org/A180875