최대공약수

유클리드 호제법

• 두 정수 \(a,b\)의 최대공약수를 구하는 알고리즘
• \(a\geq b >0\)라고 가정하자
• \(r_{-1}=a, r_0=b\)라 두고, 다음과 같은 나눗셈을 반복

\[ \begin{aligned} r_{-1}&=r_0q_0+r_1,\, 0<r_1<r_0 \\ r_{0}&=r_1q_1+r_2 ,\, 0<r_2<r_1 \\ \cdots \\ r_{n-1}&=r_{n}q_{n}+r_{n+1},\, 0<r_{n+1}<r_n \\ r_{n}&=r_{n+1}q_{n+1}\\ \end{aligned} \]

• 나눗셈을 반복하여 나머지가 0이 될 때, 얻어지는 \(r_{n+1}\)이 \(a,b\)의 최대공약수이다
• 이 때, \(k=n+2\)회의 나눗셈이 필요하며, \(a\geq F_{k+1}=F_{n+3}\)이 성립한다. 여기서 \(F_k\)는 피보나치 수열

\[F_0=0,F_1=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\]

정리

두 자연수 \(a\geq b>0\)에 유클리드 호제법을 적용할 때 필요한 나눗셈의 회수 \(k\)에 대하여 다음이 성립한다 \[ k<2.08\log a+1.45 \]

예1

• 두 자연수 \(692,128\)에 대하여 호제법을 적용하면, 다음을 얻는다

\[ \begin{array}{c|c|c} k & r_k & r_{k+1} \\ \hline -1 & 692 & 128 \\ 0 & 128 & 52 \\ 1 & 52 & 24 \\ 2 & 24 & 4 \\ 3 & 4 & 0 \\ \end{array} \]

• 따라서 최대공약수는 4가 된다
• \(2.08\log 692+1.45=15.03\cdots\)

예2

• 두 자연수 \(610,377\)에 대하여 호제법을 적용하면, 다음을 얻는다

\[ \begin{array}{c|c|c} k & r_k & r_{k+1} \\ \hline -1 & 610 & 377 \\ 0 & 377 & 233 \\ 1 & 233 & 144 \\ 2 & 144 & 89 \\ 3 & 89 & 55 \\ 4 & 55 & 34 \\ 5 & 34 & 21 \\ 6 & 21 & 13 \\ 7 & 13 & 8 \\ 8 & 8 & 5 \\ 9 & 5 & 3 \\ 10 & 3 & 2 \\ 11 & 2 & 1 \\ 12 & 1 & 0 \\ \end{array} \]

• 따라서 최대공약수는 1이고, 14번의 나눗셈을 수행하게 된다
• \(2.08\log 610+1.45=14.768\cdots\)
• 일반적으로 피보나치수열의 인접한 두 항에 대하여 호제법을 적용하면, 필요한 나눗셈의 회수가 커지게 된다

베주 항등식

• 두 정수 \(a,b\)의 최대공약수 \(\gcd(a,b)\)에 대하여, 적당한 \(x,y\in \mathbb{Z}\)가 존재하여, 다음을 만족한다

\[ax+by=\gcd(a,b)\]

사전형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Bézout's_identity

리뷰, 에세이, 강의노트

• Backhouse, Roland, and João F. Ferreira. “On Euclid’s Algorithm and Elementary Number Theory.” Science of Computer Programming 76, no. 3 (March 2011): 160–80. doi:10.1016/j.scico.2010.05.006.

메타데이터

위키데이터

• ID : Q289471