피보나치 수열

개요

수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
앞에 있는 두 수를 더하여, 다음의 수를 얻는다
점화식을 이용한 정의

\[F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}, \\ F_0=1,F_1=1\]

상수계수 선형점화식의 예이다
루카스 수열의 예이다
인접한 두 수열의 비는 황금비로 수렴

\[\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\]

피보나치 수열의 일반항

생성함수를 이용하여 얻을 수 있다

정리

피보나치 수열의 생성함수는 다음과 같이 주어진다 \[s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=\frac{1}{1-x-x^2}\label{s}\]

증명

점화식을 이용하여 다음을 얻는다 \[\begin{align} s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\ &= 1+ x + x(\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k-1) + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= 1+ x s(x) + x^2 s(x) \end{align}\]

따름정리

피보나치수열의 일반항은 다음과 같다 \[ F_n= \frac{\left(\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)\right)^{n+1}-\left(\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^{n+1}}{\sqrt{5}} \]

\ref{s}의 우변을 부분분수로 분해하여 쓰면 된다.