상수계수 선형점화식

수학노트
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개요


기본 정리

정리

복소수열 <math>\{a_n\}_{n=0}^\infty</math>과 생성함수 <math>A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n</math>에 대하여 다음은 동치이다

(1) 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여 다음 형태의 점화식이 성립한다

<math>

a_n+q_1a_{n-1}+q_2a_{n-2}+\cdots+q_ka_{n-k}=0 \label{lin} </math> (2) 생성함수 <math>A(x)</math>는 유리함수이다. 즉, 서로 소인 다항식 <math>P(x),Q(x)</math>가 존재하여, <math>A(x)=P(x)/Q(x)</math>이 성립한다.

(3) 복소수 <math>\alpha_1,\cdots, \alpha_r</math>과 다항식 <math>f_1(n),\cdots, f_r(n)</math>이 존재하여, 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여 다음이 성립한다

<math>

a_n=\sum_{i=1}^{r}f_i(n)\alpha_i^n \label{asym} </math>

관계

  • 생성함수가 <math>A(x)=P(x)/Q(x)</math>, <math>Q(x)=1+q_1x+\cdots+q_k x^k</math>인 경우, 선형점화식 \ref{lin}을 얻는다
  • 다항식 <math>Q(x)=\prod_{i=1}^{r}(x-\alpha_i^{-1})^{d_i}</math>일 때, \ref{asym}에서 <math>\deg f_i=d_i-1</math>.


선형점화식의 예

등비수열

  • 점화식 <math>a_n=r a_{n-1}, a_0=1</math>
  • 일반항은 <math>a_n=r^n</math>
  • 생성함수는 다음과 같다
<math>

A(x)=\sum _{n=0}^{\infty } a_n x^n=\sum _{n=0}^{\infty } r^n x^n=\frac{1}{1-r x} </math>


피보나치 수열

  • 점화식 <math>a_{n+2} = a_{n+1} + a_n</math>, <math>a_0 = a_ 1 = 1</math>
  • 생성함수는 다음과 같이 주어진다
<math>

A(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\frac{1}{1-x-x^2} </math>

  • 분모 <math>Q(x)=1-x-x^2</math>의 해는 <math>\alpha_1^{-1}=\frac{1}{2} \left(-1-\sqrt{5}\right),\alpha_3^{-1}=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)</math>이다
  • 피보나치 수열의 일반항은 다음과 같이 주어진다
<math>

a_n=A\alpha_1^n+B\alpha_2^n=A \left(\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^n+B \left(\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)\right)^n </math> 여기서

<math>

A= \frac{1}{10} \left(5-\sqrt{5}\right),B= \frac{1}{10} \left(5+\sqrt{5}\right) </math>

다항식으로 주어진 수열

  • 일반항이 <math>a_n=\frac{1}{6} (n+1) (n+2) (n+3)</math>으로 주어진 수열
  • <math>1,4,10,20,35,56,84,120,\cdots</math>
  • 다음의 선형점화식을 만족시킨다
<math>

a_n-4 a_{n-1}+6 a_{n-2}-4 a_{n-3}+a_{n-4}=0 </math>

  • 생성함수는 다음과 같다
<math>

A(x)=\sum _{n=0}^{\infty } a_n x^n=\sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{1}{6} (n+1) (n+2) (n+3)\right) x^n=\frac{1}{(1-x)^4}=\frac{1}{x^4-4 x^3+6 x^2-4 x+1} </math>

이계 상수계수 선형점화식

동차인 경우

  • <math>pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0</math> 꼴의 점화식

<math>p+q+r =0</math> 일 때

  • 잘 정리하면 <math>a_{n+2} - a_{n+1} = r(a_{n+1} - a_n)</math> 의 형태로 만들 수 있다. 그러면 계차수열 <math>b_n = a_{n+1} - a_{n}</math> 에 대한 등차수열이라고 생각하고, <math>b_n</math> 을 구한다.

<math>p+q+r \ne 0 </math> 일 때

  • 다항식 <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 의 두 근을 <math>\alpha, \beta</math> 라 하면, <math>a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}</math> 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
    • 중근 <math>\alpha</math> 를 가지는 경우에는 <math>a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}</math> 꼴이 된다.
  • <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 의 두 근 <math>\alpha, \beta</math> 에 대하여, <math>p(\alpha+ \beta) = -q,\quad p(\alpha \beta) = r</math> 이다. (근과 계수와의 관계) 그러므로:<math>a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0</math> 라고 쓸 수 있다. 이제 <math>a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} -\alpha a_n)</math> 으로 쓸 수 있다. <math>(a_{n+1} -\beta a_n)</math> 에 대한 등비수열을 풀기.:<math>a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} -\beta a_n)</math> 로도 쓸 수 있다. <math>(a_{n+1} -\alpha a_n)</math> 에 대한 등비수열을 풀기. 연립해서 <math>a_{n+1}</math> 을 소거하면 끝! 중근을 가지는 경우에 대한 유도는 독자에게 맡긴다. 이 점화식을 <math>p+q+r=0</math> 인 점화식에 적용해서 풀지 말라는 법도 없다. 한 근이 무조건 1 이 나와서, (등비수열) + (상수) 꼴의 일반항이 나온다.


동차가 아닌 경우

  • <math>pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = b_n</math> 꼴의 점화식
  • 양변에 적당히 <math>n</math> 에 대한 식을 더해서 공비 <math>r</math> 에 대한 등비수열 꼴로 만들 수 있는 경우가 많다.


관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료


리뷰논문, 에세이, 강의노트

메타데이터

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Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'recurrence'}, {'LEMMA': 'relation'}]
  • [{'LOWER': 'recurrent'}, {'LEMMA': 'sequence'}]
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