"리우빌 방정식"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 03:18 기준 최신판

개요

2변수함수 \(\phi(x,y)\), 상수 \(K\)
다음의 미분방정식을 리우빌 방정식이라 한다

\[\Delta \phi =-2 K e^{\phi }\] 여기서 \(\Delta\)는 라플라시안(Laplacian)

상수곡률곡면의 연구에 등장

상수곡률곡면

곡면의 제1기본형식이 다음과 같이 주어지는 경우

\[ g(x,y)(dx^2+dy^2),\,g(x,y)=e^{\phi(x,y)} \]

가우스곡률 \(K\)는 다음과 같이 주어진다

\[ K=-\frac{1}{2}e^{-\phi (x,y)}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}\right) \]

상수곡률곡면이 되는 경우, \(\phi\)에 대한 리우빌방정식을 얻는다

메모

http://benasque.org/2009gph/talks_contr/105Pablo-Mira.pdf
\(\phi_{z\overline{z}}=\frac{1}{2}e^{\phi}\)
리우빌 해, 해석함수 \(f\)에 대하여, 아래의 \(\phi\)는 리우빌 방정식의 해이다

\[ e^{\phi(z,\overline{z})}=\frac{|f'(z)|^2}{(\Im f(z))^2} \]

좌표변환 \(w=g(z), \overline{w}=\overline{g(z)}\)에 의해, 다음과 같이 변환 ((1,1) 텐서)

\[ e^{\phi(z,\overline{z})}\mapsto e^{\phi(g(z),g(\overline{z}))}|g'(z)|^2 \] 즉, \[ e^{\tilde{\phi}(w)}=e^{\phi(g(z),g(\overline{z}))}|g'(z)|^2 \]

푸앵카레 상반평면 모델의 메트릭

\[ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{|dz|^2}{\Im z^2}\]

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVHZzeHpodU5waTA/edit

사전 형태의 참고자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_equation

리뷰, 에세이, 강의노트

Part 1 | Introduction to Conformal Field Theory: Liouville Model | Leon Takhtajan , 2013. https://www.youtube.com/watch?v=-O555nA-hrg.

메타데이터

위키데이터

ID : Q2184037

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'liouville'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'equation'}]

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+==개요==
+* 2변수함수 <math>\phi(x,y)</math>, 상수 <math>K</math>
+* 다음의 미분방정식을 리우빌 방정식이라 한다
+:<math>\Delta \phi =-2 K e^{\phi }</math>
+여기서 <math>\Delta</math>는 [[라플라시안(Laplacian)]]
+* 상수곡률곡면의 연구에 등장
+==상수곡률곡면==
+* 곡면의 제1기본형식이 다음과 같이 주어지는 경우
+:<math>
+g(x,y)(dx^2+dy^2),\,g(x,y)=e^{\phi(x,y)}
+</math>
+* 가우스곡률 <math>K</math>는 다음과 같이 주어진다
+:<math>
+K=-\frac{1}{2}e^{-\phi (x,y)}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}\right)
+</math>
+* 상수곡률곡면이 되는 경우, <math>\phi</math>에 대한 리우빌방정식을 얻는다
 ==메모==
 * http://benasque.org/2009gph/talks_contr/105Pablo-Mira.pdf
+* <math>\phi_{z\overline{z}}=\frac{1}{2}e^{\phi}</math>
+* 리우빌 해, 해석함수 <math>f</math>에 대하여, 아래의 <math>\phi</math>는 리우빌 방정식의 해이다
+:<math>
+e^{\phi(z,\overline{z})}=\frac{|f'(z)|^2}{(\Im f(z))^2}
+</math>
+* 좌표변환 <math>w=g(z), \overline{w}=\overline{g(z)}</math>에 의해, 다음과 같이 변환 ((1,1) 텐서)
+:<math>
+e^{\phi(z,\overline{z})}\mapsto e^{\phi(g(z),g(\overline{z}))}|g'(z)|^2
+</math>
+즉,
+:<math>
+e^{\tilde{\phi}(w)}=e^{\phi(g(z),g(\overline{z}))}|g'(z)|^2
+</math>
+* [[푸앵카레 상반평면 모델]]의 메트릭
+:<math>ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{|dz|^2}{\Im z^2}</math>
+==관련된 항목들==
+* [[상수곡률곡면과 사인-고든 방정식]]
+* [[리만 사상 정리 Riemann mapping theorem and the uniformization theorem]]
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVHZzeHpodU5waTA/edit
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 * http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_equation
+==리뷰, 에세이, 강의노트==
+* Part 1 | Introduction to Conformal Field Theory: Liouville Model | Leon Takhtajan , 2013. https://www.youtube.com/watch?v=-O555nA-hrg.
 ==관련논문==
 * Levi, D., L. Martina, and P. Winternitz. ‘Structure Preserving Discretizations of the Liouville Equation and Their Numerical Tests’. arXiv:1504.01953 [math-Ph, Physics:nlin], 8 April 2015. http://arxiv.org/abs/1504.01953.
+* Huang, Ying. ‘New No-Traveling Wave Solutions for the Liouville Equation by Bäcklund Transformation Method’. Nonlinear Dynamics 72, no. 1–2 (4 December 2012): 87–90. doi:10.1007/s11071-012-0692-8.
 * Brito, Francisco, Maria Luiza Leite, and Vicente De Souza Neto. Liouville’s Formula Under the Viewpoint of Minimal Surfaces, n.d. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.360.4767
-* Brito, Francisco, and Maria Luiza Leite. ‘Uniqueness and Globality of the Liouville Formula for Entire Solutions of $ {\partial^{2}\log \lambda \over \partial Z \partial \overline Z} + {\lambda \over 2} = 0 $’. Archiv Der Mathematik 80, no. 5 (1 May 2003): 501–6. doi:10.1007/s00013-003-0481-1.
+* Brito, Francisco, and Maria Luiza Leite. ‘Uniqueness and Globality of the Liouville Formula for Entire Solutions of <math> {\partial^{2}\log \lambda \over \partial Z \partial \overline Z} + {\lambda \over 2} = 0 </math>’. Archiv Der Mathematik 80, no. 5 (1 May 2003): 501–6. doi:10.1007/s00013-003-0481-1.
 [[분류:미분기하학]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2184037 Q2184037]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'liouville'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'equation'}]