리우빌 방정식

수학노트
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개요

  • 2변수함수 \(\phi(x,y)\), 상수 \(K\)
  • 다음의 미분방정식을 리우빌 방정식이라 한다

\[\Delta \phi =-2 K e^{\phi }\] 여기서 \(\Delta\)는 라플라시안(Laplacian)

  • 상수곡률곡면의 연구에 등장


상수곡률곡면

  • 곡면의 제1기본형식이 다음과 같이 주어지는 경우

\[ g(x,y)(dx^2+dy^2),\,g(x,y)=e^{\phi(x,y)} \]

  • 가우스곡률 \(K\)는 다음과 같이 주어진다

\[ K=-\frac{1}{2}e^{-\phi (x,y)}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}\right) \]

  • 상수곡률곡면이 되는 경우, \(\phi\)에 대한 리우빌방정식을 얻는다


메모

\[ e^{\phi(z,\overline{z})}=\frac{|f'(z)|^2}{(\Im f(z))^2} \]

  • 좌표변환 \(w=g(z), \overline{w}=\overline{g(z)}\)에 의해, 다음과 같이 변환 ((1,1) 텐서)

\[ e^{\phi(z,\overline{z})}\mapsto e^{\phi(g(z),g(\overline{z}))}|g'(z)|^2 \] 즉, \[ e^{\tilde{\phi}(w)}=e^{\phi(g(z),g(\overline{z}))}|g'(z)|^2 \]

\[ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{|dz|^2}{\Im z^2}\]

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 참고자료


리뷰, 에세이, 강의노트

관련논문

  • Levi, D., L. Martina, and P. Winternitz. ‘Structure Preserving Discretizations of the Liouville Equation and Their Numerical Tests’. arXiv:1504.01953 [math-Ph, Physics:nlin], 8 April 2015. http://arxiv.org/abs/1504.01953.
  • Huang, Ying. ‘New No-Traveling Wave Solutions for the Liouville Equation by Bäcklund Transformation Method’. Nonlinear Dynamics 72, no. 1–2 (4 December 2012): 87–90. doi:10.1007/s11071-012-0692-8.
  • Brito, Francisco, Maria Luiza Leite, and Vicente De Souza Neto. Liouville’s Formula Under the Viewpoint of Minimal Surfaces, n.d. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.360.4767
  • Brito, Francisco, and Maria Luiza Leite. ‘Uniqueness and Globality of the Liouville Formula for Entire Solutions of \( {\partial^{2}\log \lambda \over \partial Z \partial \overline Z} + {\lambda \over 2} = 0 \)’. Archiv Der Mathematik 80, no. 5 (1 May 2003): 501–6. doi:10.1007/s00013-003-0481-1.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'liouville'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'equation'}]
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