"1,2,4,8 과 1,3,7"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
|||
| (사용자 2명의 중간 판 28개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==개요== | |
| − | * <math>\mathbb R^n</math> 은 division | + | * <math>\mathbb R^n</math> 은 division algebra이다 <math>\iff</math><math>n=1,2,4,8</math> |
* <math>S^n</math> 는 H-space 이다. <math>\iff</math><math>n=0,1,3,7</math> | * <math>S^n</math> 는 H-space 이다. <math>\iff</math><math>n=0,1,3,7</math> | ||
* <math>S^n</math> 은 n개의 일차독립인 벡터장을 갖는다 <math>\iff</math><math>n=0,1,3,7</math> | * <math>S^n</math> 은 n개의 일차독립인 벡터장을 갖는다 <math>\iff</math><math>n=0,1,3,7</math> | ||
* fiber 번들 <math>S^p \to S^q \to S^r</math> 이 존재한다. <math>\iff</math><math>(p,q,r) = (0,1,1),(1,3,2),(3,7,4),(7,15,8)</math> | * fiber 번들 <math>S^p \to S^q \to S^r</math> 이 존재한다. <math>\iff</math><math>(p,q,r) = (0,1,1),(1,3,2),(3,7,4),(7,15,8)</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==프로베니우스의 정리== | |
| − | * 실수 위에 정의된 유한차원 | + | * 실수 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 유한차원 [[division algebras|division algebra]] |
| − | * | + | * 프로베니우스의 정리 실수체 <math>\Bbb{R}</math> 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 나눗셈대수(division algebra)는 실수 <math>\Bbb{R}</math>, 복소수 <math>\Bbb{C}</math>, 사원수 <math>\Bbb{H}</math> 뿐이다 |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==composition 대수에 관한 후르비츠의 정리== | |
| − | + | * 체 위에 정의된 composition 대수는 항등원 1 (즉 모든 원소 x 에 대하여 <math>1\cdot x = x \cdot 1= x</math>을 만족시키는 원소)을 갖는 normed 대수이다 | |
| + | * 후르비츠의 정리 실수체 <math>\Bbb{R}</math> 위에 정의된 composition 대수는 실수 <math>\Bbb{R}</math>, 복소수 <math>\Bbb{C}</math>, 사원수 <math>\Bbb{H}</math>, 팔원수 <math>\Bbb{O}</math> 뿐이다. | ||
| − | : <math>\| | + | * 실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이 나눗셈대수(division algebra)구조를 갖고 다음을 만족시킬 경우, normed 나눗셈대수로 정의:<math> \|x \, y\| \ = \|x \| \, \| y\|</math> |
| + | * normed 나눗셈대수(division algebra) 는 composition 대수의 특별한 경우이다 | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련된 고교수학 또는 대학수학== | |
| − | + | * 복소수 | |
| + | * [[벡터의 외적(cross product)|외적]] | ||
| + | * 사원수 | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
| − | + | * [[해밀턴의 사원수(quarternions)|해밀턴의 사원수]] | |
| + | * [[parallelizability of the spheres]] | ||
| + | * [[호프 fibrations]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==수학용어번역== | |
| − | + | * division algebra 나눗셈 대수 | |
| + | * {{학술용어집|url=division}} | ||
| + | * {{학술용어집|url=norm}} | ||
| + | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집] | ||
| + | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=division | ||
| + | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=norm | ||
| + | * [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교] | ||
| + | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | == | + | ==관련도서== |
| − | + | * General Cohomology Theory and K-Theory (London Mathematical Society Lecture Note Series) (Paperback) | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * General Cohomology Theory and K-Theory (London Mathematical Society Lecture Note Series) (Paperback) | ||
** P. J. Hilton | ** P. J. Hilton | ||
| − | * On Quaternions and Octonions | + | * On Quaternions and Octonions |
| − | ** John H. Conway, Derek A. Smith | + | ** John H. Conway, Derek A. Smith, A.K. Peters, 2003. |
| − | + | * Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers, and the Algebraic Design of Physics | |
| − | * Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers, and the Algebraic Design of Physics | + | ** Geoffrey Dixon, July 1994 |
| − | ** Geoffrey Dixon | + | * [http://www.math.cornell.edu/%7Ehatcher/VBKT/VBpage.html Vector Bundles & K-Theory] |
| − | + | ** Allen Hatcher | |
| − | * [http://www.math.cornell.edu/%7Ehatcher/VBKT/VBpage.html Vector Bundles & K-Theory] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | ** | ||
| − | + | ||
| − | + | ==사전형태의 자료== | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Division_algebra | * http://en.wikipedia.org/wiki/Division_algebra | ||
| − | * http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz% | + | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz%27s_theorem_%28normed_division_algebras%29 http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz's_theorem_(normed_division_algebras)] |
* http://en.wikipedia.org/wiki/Composition_algebra | * http://en.wikipedia.org/wiki/Composition_algebra | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Normed_division_algebra | * http://en.wikipedia.org/wiki/Normed_division_algebra | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==관련논문== | |
| − | * http:// | + | * [http://www.jstor.org/stable/3219300 An Elementary Introduction to the Hopf Fibration] |
| − | * | + | ** David W. Lyons, Mathematics Magazine Vol. 76, No. 2 (Apr., 2003), pp. 87-98 |
| − | * [http://www. | + | * [http://www.jstor.org/stable/2315620 The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces] |
| + | ** Bertram Walsh, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194 | ||
| − | + | * The four and eight square problem and division algebras | |
| + | ** CW Curtis, in MAA Studies in Modern Algebra Vol.2, (ed. AA Albert), pp. 100- 125 | ||
| + | * [http://www.jstor.org/stable/2323537 Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces] | ||
| + | ** W. S. Massey, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), pp. 697-701 | ||
| + | * [http://www.jstor.org/stable/1970147 On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One] | ||
| + | ** J. F. Adams, <cite style="line-height: 2em;">The Annals of Mathematics</cite>, Second Series, Vol. 72, No. 1 (Jul., 1960), pp. 20-104 | ||
| + | * [http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ The Octonions] | ||
| + | ** John Baez, AMS 2001 | ||
| − | < | + | * [http://www.jstor.org/stable/2315349 The Impossibility of a Division Algebra of Vectors in Three Dimensional Space] |
| + | ** Kenneth O. May, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 73, No. 3 (Mar., 1966), pp. 289-291 | ||
| + | [[분류:추상대수학]] | ||
| − | * | + | ==메타데이터== |
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1231309 Q1231309] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'division'}, {'LEMMA': 'algebra'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 03:45 기준 최신판
개요
- \(\mathbb R^n\) 은 division algebra이다 \(\iff\)\(n=1,2,4,8\)
- \(S^n\) 는 H-space 이다. \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
- \(S^n\) 은 n개의 일차독립인 벡터장을 갖는다 \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
- fiber 번들 \(S^p \to S^q \to S^r\) 이 존재한다. \(\iff\)\((p,q,r) = (0,1,1),(1,3,2),(3,7,4),(7,15,8)\)
프로베니우스의 정리
- 실수 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 유한차원 division algebra
- 프로베니우스의 정리 실수체 \(\Bbb{R}\) 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 나눗셈대수(division algebra)는 실수 \(\Bbb{R}\), 복소수 \(\Bbb{C}\), 사원수 \(\Bbb{H}\) 뿐이다
composition 대수에 관한 후르비츠의 정리
- 체 위에 정의된 composition 대수는 항등원 1 (즉 모든 원소 x 에 대하여 \(1\cdot x = x \cdot 1= x\)을 만족시키는 원소)을 갖는 normed 대수이다
- 후르비츠의 정리 실수체 \(\Bbb{R}\) 위에 정의된 composition 대수는 실수 \(\Bbb{R}\), 복소수 \(\Bbb{C}\), 사원수 \(\Bbb{H}\), 팔원수 \(\Bbb{O}\) 뿐이다.
- 실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이 나눗셈대수(division algebra)구조를 갖고 다음을 만족시킬 경우, normed 나눗셈대수로 정의\[ \|x \, y\| \ = \|x \| \, \| y\|\]
- normed 나눗셈대수(division algebra) 는 composition 대수의 특별한 경우이다
관련된 고교수학 또는 대학수학
- 복소수
- 외적
- 사원수
관련된 항목들
수학용어번역
- division algebra 나눗셈 대수
- division - 대한수학회 수학용어집
- norm - 대한수학회 수학용어집
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
관련도서
- General Cohomology Theory and K-Theory (London Mathematical Society Lecture Note Series) (Paperback)
- P. J. Hilton
- On Quaternions and Octonions
- John H. Conway, Derek A. Smith, A.K. Peters, 2003.
- Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers, and the Algebraic Design of Physics
- Geoffrey Dixon, July 1994
- Vector Bundles & K-Theory
- Allen Hatcher
사전형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Division_algebra
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz's_theorem_(normed_division_algebras)
- http://en.wikipedia.org/wiki/Composition_algebra
- http://en.wikipedia.org/wiki/Normed_division_algebra
관련논문
- An Elementary Introduction to the Hopf Fibration
- David W. Lyons, Mathematics Magazine Vol. 76, No. 2 (Apr., 2003), pp. 87-98
- The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces
- Bertram Walsh, The American Mathematical Monthly, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194
- The four and eight square problem and division algebras
- CW Curtis, in MAA Studies in Modern Algebra Vol.2, (ed. AA Albert), pp. 100- 125
- Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces
- W. S. Massey, The American Mathematical Monthly, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), pp. 697-701
- On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One
- J. F. Adams, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 72, No. 1 (Jul., 1960), pp. 20-104
- The Octonions
- John Baez, AMS 2001
- The Impossibility of a Division Algebra of Vectors in Three Dimensional Space
- Kenneth O. May, The American Mathematical Monthly, Vol. 73, No. 3 (Mar., 1966), pp. 289-291
메타데이터
위키데이터
- ID : Q1231309
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'division'}, {'LEMMA': 'algebra'}]